浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」 | 您所在的位置:网站首页 › 何为正定矩阵 › 浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」 |
1. 基本的定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 初学线性代数的读者可能会被这两个词“唬住”,但正定矩阵和半正定矩阵的定义实际上是很简单的 (不考虑复数构成的矩阵): 【定义1】给定一个大小为【例1】单位矩阵 解:设向量 由于 【简单证明】对于任意单位矩阵
【例2】 实对称矩阵 解:设向量 因此,矩阵 根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。 ![]() 2. 从二次函数到正定/半正定矩阵 在初中数学中,我们学习了二次函数 以 ![]() 实际上,我们可以将 当我们希望 另外,在 这在 3. 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释 若给定任意一个正定矩阵【例3】给定向量 向量 即两个向量之间的夹角为0°. 【例4】给定向量 向量 即两个向量之间的夹角小于 3. 为什么协方差矩阵要是半正定的? 在概率论与数理统计中,我们都学习的协方差矩阵的定义: 对于任意多元随机变量现给定任意一个向量 其中, 由于 相关参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix |
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