已知传递函数求状态空间表达式

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已知传递函数求状态空间表达式

传递函数是描述线性系统的重要工具，

但有时我们需要将其转换

为状态空间表示以便于分析和实现。

本文将介绍已知传递函数如何求

解状态空间表达式的方法。

首先，

我们将传递函数表示为分子多项式

$N(s)$

除以分母多项式

$D(s)$

的形式：

    $$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$ 

接下来，

我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一

阶系统的和：

    $$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} + 

frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$ 

其中，

$a_1, 

a_2, 

cdots, 

a_n$ 

是传递函数的极点，

$K_1, 

K_2, 

cdots, K_n$ 

是对应的系数。

接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：

    $$begin{aligned} dot{x}_i 

&= 

a_ix_i 

+ 

b_iu  y_i 

&= 

c_ix_i 

+ d_iu end{aligned}$$ 

其中，

$x_i$ 

是系统的状态向量，

$u$ 

是输入信号，

$y_i$ 

是输

出信号，

$a_i, b_i, c_i, d_i$ 

是系统的系数。注意，每个一阶系

统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。

最后，

将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统

的状态空间表示：

    $$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1