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3.1 n维向量及其运算
3.1.1 n维向量的概念
定义:n个数 分量全为零的向量称为零向量,记为0. 3.1.2 向量的线性运算向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算 1.线性组合 定义:设 成立,则称
性质: 1)零向量可以由任意向量组线性表示 2)向量组中任一向量可由向量组表示 3)任一向量可由 2.向量组的等价 定义:设有两个向量组 两个向量组可以相互线性表示,表示两个向量组等价。 性质: 1)发射性:任一向量组与它自身等价 2)对称性:若 3)传递性:若 1.线性相关与线性无关 定义:设 成立,则称向量组 结论:1)向量组中两向量成比例,则这个向量组必线性相关 2)含零向量的任意向量组必相关 3)一个零向量必线性相关 4)一个非零向量必线性无关 5)一个向量 推论:部分组线性相关则整体组线性相关 整体组线性无关则部分组线性无关 一个线性无关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加一些分量所得到的高维向量组仍线性无关 一个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去一些分量所得到的低维向量组仍线性相关 2.线性组合和线性相关定理 定理: 1) 2) 线性表示,且表示唯一 3)替换定理:若 与向量组 推论:1)若m>n, 则m个n维向量必线性相关 2)n+1个n维向量必线性相关 3)两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 3.3 向量组的秩 3.3.1 极大线性无关组定义:如果向量组 的部分组 1) 2)向量组 (1)中的每个向量都可以由 则称 定理:向量组 的部分组 1) 2)向量组(1)中任意r+1个向量都线性相关 定理:一个向量组的任意两个极大无关组,都含有相同个数的向量 3.3.2 向量组的秩定义:向量组 全是零向量的向量组的秩为零 注:1)对任何向量组 2)向量组 3)向量组 定义:行向量的秩称为行秩,列向量的秩为列秩 定理:矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩 定理:矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩,从而 初等行变换不改变矩阵列向量组间的线性关系 求法: 1)不管原向量是行或列,均按列构成矩阵 2)只做初等行变换,化为行简化阶梯形 3)首非零元所在列做极大线性无关组 4)其余向量表示系数直接写出来
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