线代本质/矩阵左乘右乘的数学意义

对矩阵A而言， BxA（左乘）是对A进行行变换 AxB（右乘）是对A 进行列变换 如图

这里再讲一下A*v的几何意义; A = [ 1 − 1 1 2 ] A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 &2 \end{bmatrix} A=[11​−12​], v = [ 1 1 ] v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} v=[11​]

A v = [ 0 3 ] Av=\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} Av=[03​] 这个在几何上怎么理解呢？

在上面部分我们知道，这个操作就是对A的列进行操作，取1份[1;1]，一份[-1;2]，相加得到[0,3] 那实际上也就是以A的列向量[1;1] [-1;2]分别为x\y轴构建新的坐标系，新坐标系下的[1,1]，在原来的[1,0] [0,1]坐标系下表现为[0,3] 也就是Ev=v，是以E（[1,0] [0,1]）轴为基，v为坐标； 而因为Av=EAv，所以该表达是先以A（[1,1] [-1,1]）轴为基，v为该坐标系下的坐标；再放到E坐标系下，发现是[0,3]

或者更直接的这么理解：变换后x跑到[1;1] ，y跑到 [-1;2]了，由于线性变换是等距平行四边形模样，且原点不动，所以借助变换后的xy定位变换后的vector的位置：x[1;-1]+y[-1;1]

白色部分是E坐标（锚），绿色、红色部分是新坐标系；取x绿， y红，相加，新坐标系中的[x,y]表现为E坐标系中的x绿+y红色。

所以A的两个列就是一个很好的记录，比如我们要旋转一个向量（x,y），假设E坐标系中的（0，1） （1，0）旋转后是A的第一二列，那么Ax就是旋转后的向量了

而det(A)，就是旋转/伸缩(线性变换)后 绿，红线围成的平行四边形的面积。 假设A不满秩，也就是两条新坐标轴将共线，面积为0，det(A)=0。 当det(A)