解法多样，一脉相承

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解法多样，一脉相承

2023年宜昌市中考数学第23题

在几何压轴题中，各小题之间通常呈现较强关联，从第1小题开始起步，逐步搭好梯子，让学生拾级而上，设置适当条件让学生能够将各题条件进行迁移，用已经学会的方法来探究新问题的思路。

2023年宜昌市中考数学第23题，承担了几何压轴题的重任，基本几何元素是正方形、相似三角形、三角函数，通过特殊位置到一般位置的转换层层设置问题，从不同侧面给出已知条件，较全面地考查学生几何综合解题能力。

题目

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF.

(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点.

①如图1，当∠FEC=90°时，求证：△AEF∽△DCF；

②如图2，当tan∠FCE=2/3时，求AF的长；

(2)如图3，延长CF，DA交于点G，当GE=DE，sin∠FCE=1/3时，求证：AE=AF.

解析：

01

(1)①由∠FEC=90°可得∠AEF+∠DEC=90°，根据∠DEC+∠DCE=90°，可证∠AEF=∠DCE，结合∠A=∠D=90°，所以△AEF∽△DCE；

②失去了∠FEC=90°条件后，原来的相似三角形、直角三角形Rt△CEF不复存在，新给出的条件tan∠FCE=2/3又需要一个容纳它的直角三角形，因此我们首先设法让直角三角形重现，过点E作EH⊥CE，交CF延长线于点H，延长DA交CF延长线于点G，过点H作HK⊥DG，如下图：

此方法的第一桩好处，是立刻得到直角三角形，Rt△CEH，并且由tan∠FCE=2/3可知EH:CE=2:3，第二桩好处是另一对相似三角形，△EHK∽△CED，并且相似比为2：3，简证如下：

02

(2)将点E为AD中点改为DG中点之后，随着点F位置的改变，点E也成为了动点，给学生分析图形带来了些许困扰，但是无论怎么动，前面已经得到的部分结论是不变的，因此，首选方法最经济的，是用已经成功的方法继续“修正弹着点”，依然过点E作EH⊥CE，交CG于点H，过点H作HK⊥DG，如下图：

对于条件sin∠FCE=1/3，需要变换，在Rt△CEH中，EH=k，CH=3k，于是CE=2√2k，因此我们又得到∠FCE的正切值，为1:2√2，“旧题”重现了，简证如下：

同时提供原题参考答案，如下图：

解题反思

本题解法多样，除了参考答案给出的方法，以及本文中的方法之外，还可以利用勾股定理列方程求解，只不过得到的是一个高次方程，恰好这个高次方程可以利用完全平方公式化简降次，或者利用三角函数和差公式，不添加辅助线亦可完成。

找到思路的关键是对图中几对相似三角形的证明，同时利用它们的比例线段完成方程的构建或等量转换，对学生代数恒等变换提出了较高要求，甚至不少学生凭借计算功底“死算”也能从解高次方程或无理方程中得到结果，从这个角度来看，本题更偏向于代数解析。

从形式上来看，正方形背景不变，△CEF的形状和位置改变，从特殊的直角三角形到一般三角形，顶点E从中点到普通一点，又成为动线段的中点，从而带动整个图形的变化，衍生出本题三小题，难度设置上由易至难，阶梯上升，具备了较好的区分。

其中的三角函数值条件，本质上与△CEF的形状有关，无论是正切值或正弦值，在直角三角形中，均可相互转换，这也是本文解法一脉相承的基础。思维的经济性较好，前面得到的结论在后面的推导过程中可以继续使用，从而节省了学生思考的时间，参考答案中的方法同样优秀，也是一脉相承，保持了较好的经济性，从这个意义上看，体现了命题者的人文关怀。

最后，留下几点思考：第一，为什么很多学生在考试中使用勾股定理建构方程，在得到高次方程后，舍不得转换赛道？第二，执着于代数解析思想求解几何压轴题，是否也是学习中的不利倾向？第三，本题可采用高中知识，并且能够“秒杀”，这在命题过程中很难避免，但在教学中，个人认为不应该鼓励，甚至在课堂上进行此类教学，毕竟个别学生的超前不代表全体，而我们的教学，恰恰要面对全体学生。

教研参考书籍推荐

《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》（张钦著）

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