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数字信号处理的主要内容 离散信号与系统分析1. 为什么学习本章 LTI离散系统的三种表示形式:①系统函数;②单位脉冲响应;③差分方程。 系统函数:适合系统的设计与分析,比如因果、稳定、滤波特性等分析。 系统函数H(z)的举例单位脉冲响应:无限长脉冲响应,用离散卷积运算不现实。 单位脉冲响应的举例差分方程:可以采用递推来实现,适合实时计算。 差分方程的举例对LTI离散系统: LTI离散系统的例子对于同一个LTI离散系统,有无限种运算结构。当变量和系数以无限精度表示时,不同运算结构是等价的,但用有限精度表示时,可能存在巨大差异。(有必要研究不同的运算结构) 不同的系统函数对应不同的算法、不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度,同时影响系统的复杂程度和成本。 2. 用信号流图表示网络结构 实现数字信号处理的三种基本运算单元:①加法器;②单位延迟器;③常数乘法器。 三种基本运算的表示方法:①方框图法;②信号流图法。 方框图表示法、信号流图表示法的示例。 信号流图不同的信号流图代表不同的颜色丰富,对于同一个系统函数可以有多个信号流图去对应。 基本信号流图:①所有支路的增益是常数或者Z^{-1};②流图环路中必须存在延时支路——如果环路不存在延时,可能无法计算;③节点和支路的数目是有限的。 存在不可计算但可解的信号流图。 不可用电脑计算,但是可解的信号流图(不是基本信号流图)基本信号流图对应一种具体的运算方法,非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。网络结构可以通过基本信号流图来描述。 从基本信号流图求系统函数H(z)的过程:设置中间节点变量、联立方程组、求解方程组、消除中间节点变量、确定流图的输入输出关系。根据输入输出关系求出系统函数H(z)。 网络结构分类:按照脉冲响应的长度分类。 无限脉冲响应(IIR)网络、有限脉冲响应(FIR)网络 IIR滤波器在结构上存在输出到输入的反馈。 FIR滤波器的结构上不存在输出到输入的反馈,信号流图中不存在环路。 系统有极点,则必有反馈,则必定导致无限长脉冲响应。有反馈不一定有极点。 脉冲响应为有限长的充分条件:系统函数无极点。 有的系统,具有反馈回路,但是脉冲响应却是有限的。因为极点和零点相互抵消。 3. 无限长脉冲响应基本网络结构 对于有理系统函数的运算网络结构:直接I型结构、直接II型结构、级联型结构、并联型结构。 用户诉求:①耗时考虑,乘法更少;②耗资考虑,延时单元更少;③算法的可分割性,并行性;④处理器之间的通信,独立性;⑤有限精度的影响,计算受到有限资产影响的灵敏度低。 直接I型: 直接I型的原理直接I型的结构示意图优点:结构简单、清晰、便于理解。 缺点:①所用运算单元多、延时支路较多;②a、b常数对滤波器的性能控制作用不明显;③零点、极点关系不明显,调整困难; 直接II型: 直接II型的原理直接II型的结构示意图直接I型和直接II型的对比 相同之处:①都是直接型的实现方法,共通的缺点是a,b对滤波器的性能控制不明显,因为它们与系统函数的零极点关系不明显,因而调整困难;②直接型机构极点对系数的变化过于灵敏,容易出现不稳定或产生较大误差。 不同之处:II型所需的延时单元较少,可以节省单元或寄存器。 级联型: 先将系统函数按照零点极点进行因式分解 系统函数按照极点零点进行因式分解再将共轭因子展开,构成实系数二阶因子,则得到: 使用实数二阶因子IIR型级联型网络结构:H(z)= H1(z)·H2(z)·...·Hk(z) 级联型示意图级联型结构不是唯一的。 一阶网络结构一个六阶系统函数可以用三个直接II型的级联表示: 一个六阶系统函数:三个直接II型的级联表示级联型机构的优点: ①所需存储器最少,系统结构组成灵活,该结构应用广泛。 ②每一个基本节与滤波器的一对零点和一对极点有关。 ③调整系数β_{0k}、β_{1k}、β_{2k}可以单独调整滤波器第k对零点,而不影响其他零点、极点。 ④调整系数α_{1k}、α_{2k}单独调整滤波器第k对极点,而不影响其他零点、极点。 级联型结构的缺点: ①存在误差积累,前级误差会传递到后级,但级联结构中后面的网络输出不会传送到前面,所以运算误差的积累相对于直接型要小。 ②零极点配合关系着网络最优化的问题,而最佳配合关系不易确定。级联结构可以有许多不同的搭配关系,不同方案性能不同。 并联型: 把H(Z)占城部分分式形式: 并联型表示:把它展开成相加的形式其中H_i(z)通常为一阶网络和二阶网络, 网络系统均为实数。二级网络的系统函数一般为: 二阶网络其中β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果β1i=a2i=0则构成了一阶网络。 一阶网络并联型表示: 并联型表示通过每个二阶(或一阶)网络后,将所有的输出相加可以得到输出y(n)。 并联型表示同时带有常数、一阶网络和二级网络的并联型网络结构。 并联型网络结构示例并联型结构的优点: ① 并联结构可以单独调整极点位置。所以,在要求准确传输极点的场合,宜采用这种结构。 ② 各并联基本节的误差相互没有影响,无误差积累,因此并联形式运算误差最小。 ③ 基本节并联,可以同时对输入信号进行运算,因此并联型结构运算速度快。 并联型结构的缺点: ① 不能像级联型那样单独调整零点的位置。(因为并联型各子系统的零点,并非整个系统函数的零点) ② 当H(z)有多阶极点时,部分分式展开不易。 IIR网络结构的转置定理 转置形式(流图倒置):如果将源网络中所有支路的方向加以反转,并将输入和输出相互交换,则网络的系统函数不会改变(可由梅森公式得出) IIR网络结构的转置定理一阶转置结构 一阶转置结构二阶转置结构 二阶转置结构IIR基本网络结构的特点比较 IIR基本网络结构的特点比较4. 有限长脉冲响应基本网络结构 ①FIR网络没有反馈支路,没有环路。 ②所有极点都在0处,收敛域为:|z|>0。 ③单位脉冲响应是有限长的。 有限长脉冲FIR滤波器的差分方程 从IIR到FIR的转变FIR滤波器的差分方程FIR系统的基本网络结构级联型结构的特点 ①级联型机构的每一个一阶因子控制一个实数零点。 ②每一个二阶因子控制一对共轭零点。 ③调整零点位置比直接型方便。 ④所需要的系数比直接型多,因而需要的乘法器多。 5. FIR系统的线性相位结构 线性相位:系统函数的相位和频率成线性关系;这种滤波器的群延时为一常数。 冲激响应h(n)的傅里叶变换H(jω)包括幅频特性和相频特性。 冲激响应的傅里叶变换系统群延时定义; 系统群延时定义满足线性相位时 满足线性相位时的相位变化群延时为一个常数 群延时是一个常数系统函数线性相位的重要性 数据传输、图像处理都需要系统具有线性相位(保证数据、图像不畸变) 在雷达、通信等系统中,要求滤波器具有良好的线性相位特性,以保证信号的无失真传输。 相位在图像中非常重要,甚至比幅度还要重要! 通过相位,可以基本上恢复出原图像的大概外形图像处理对于系统函数的相频特性要求具有线性相位。 实验原理:将原图变换到频域,乘以不同的系统函数,再反变换。 原图和二次相位图像弥散FIR系统的线性相位结构: 线性相位结构若FIR系统的h(n)是实数,且满足对称性。即满足约束条件: h(n)=±h(N-1-n),+为第一类,-为第二类。 也就是说h(n)的对称中心在(N-1)/2,则这种FIR滤波器就具有线性相位。 下面我们针对h(n)的奇、偶进行讨论。 N为偶数时N为奇数时6. FIR系统的频率采样结构 频域采样定理: 原序列的Z变换H(z)与采样值H(k)满足下面关系式s频域采样的FIR网络结构。 7. 格型网络结构 全零点格型网络结构。 全零点格型网络的系统函数:全零点格型网络结构的流图。 该流图只有直通通路,没有反馈回路,因此可以称为FIR格型网络结构。 全零点格型网格结构基本构成单元: 基本构成单元差分方程如下: 差分方程Z变换之后: Z变换矩阵形式、级联之后: 矩阵、级联系统函数 FIR格型网络的系统函数s2. 由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网格结构 假设N阶FIR型网络结构的系统函数: 系统函数式中, h(0)=1; h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k),得到: 式中,a0=h(0)=1;k1为全零点格型网络的系数,l=1, 2, …, N。 量化效应带来滤波器性能下降: 以下是一个满足线性相位的FIR低通滤波器,一共27阶,一共27个零点。 量化系数效应。 朴素解释:系数量化的噪声具有随机性,因此相当于在原来的滤波器上叠加了一个随机噪声,随机噪声的具有白色频谱,因此,会在整个频带上叠加一个幅频误差,这个幅频误差会降低通带的平坦度,会抬高滤波器截止带的增益。导致滤波器滤波特性下降。 |
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