【算法基础】分解质因数

分解质因数是指将一个合数用质因数相乘的形式表示出来，即将一个合数分解为若干个质数的乘积。其中每个质数都是这个合数的因数。例如，将30分解质因数，得到2×3×5，即将30表示为2、3、5三个质数的乘积。分解质因数只针对合数，对于质数和1，不需要进行分解质因数。

给定 n n n 个正整数 a i a_i ai​，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

第一行包含整数 n n n。

接下来 n n n 行，每行包含一个正整数 a i a_i ai​。

对于每个正整数 a i a_i ai​，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

1 ≤ n ≤ 100 1≤n≤100 1≤n≤100, 2 ≤ a i ≤ 2 × 1 0 9 2≤a_i≤2×10^9 2≤ai​≤2×109

输入样例：

输出样例：

原始的分解质因数的方法，是从小到大遍历所有小于n的数i，如果n % i == 0 且i为素数，那么i就是其中的一个质因数。 按照这样的思路，我们只需要判断一次取余运算，判断一次素数。但是对于这道题的数据范围，一定会TLE。

由于这道题还需要求出每个质因数的指数，那每次找到这个质因数之后，让n不停的除这个数i，直到除完为止，每除一次就表示次数+1 这样就不需要把n遍历完，每找到一个素数k，n会减小1~k^s倍 但是每次除法的过程也会有s次操作，数据范围仍然不允许

可以把试除的时间复杂度降到O(sqrt(n)) 只需要判断sqrt(n)以内的质因数，但是sqrt(n)~n之间可能存在质因数且最多一个，所以在遍历完之后需要判断n是否被除尽，如果还有剩，那剩下的这个一定是一个质因数。

这其实用到了埃氏筛法筛素数的一个原理： 我们每判断完一个素数x，就在2 - i-1之间把x的倍数筛了一遍了，于是在2 - i-1之间就不存在x的倍数了 反证法证一下： 假设我们遍历到一个数i是一个合数，那么它可以分解质因数，那么在2 - i-1之间就一定可以找到一个质数是i的因数，而根据我们的算法，前面所有遇到的质数已经把该质数的倍数除干净了，所以不存在任何一个质数的倍数，所以它在前面找不到一个质因数，所以它一定不是合数，与假设相矛盾，所以它一定是质数。

作者：为梦而生 链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/7348563/ 来源：AcWing 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。