极小多项式和友矩阵

介绍了极小多项式和友矩阵的相关概念以及基础性质。  

多项式 \(p(t)\) 称为使 \(A\in M_n\) 零化，如果 \(p(A)=0\). Cayley-Hamilton 定理保证了：对每个 \(A \in M_n\), 存在一个 \(n\) 次的首 1 多项式 \(p_A(t)\)（特征多项式），使得 \(p_A(A)=0\). 当然可能也存在一个更低次数的首 1 多项式使 \(A\) 零化. 我们要找出使 \(A\) 零化的最低次数的首 1 多项式. 下面这个定理表明这个要找的多项式是唯一的.     定理 1： 设给定 \(A \in M_n\). 则存在唯一一个最小次数的首 1 多项式 \(q_A(t)\) 使 \(A\) 零化. \(q_A(t)\) 的次数至多为 \(n\). 如果 \(p(t)\) 是任何一个使 \(p(A)=0\) 成立的首 1 多项式，那么 \(q_A(t)\) 整除 \(p(t)\), 即对某个首 1 多项式 \(h(t)\) 有 \(p(t)=h(t)q_A(t)\).     证明：次数不大于 \(n\) 没什么好说的，因为存在 \(n\) 次的一定满足. 如果 \(p(t)\) 是任何一个使 \(A\) 零化的首 1 多项式，又如果 \(q(t)\) 是一个使 \(A\) 零化的 \(m\) 次（设为最低次）首 1 多项式，那么 \(p(t)\) 的次数是 \(m\) 或者更高. Euclid 算法确保存在一个首 1 多项式 \(h(t)\) 以及一个次数严格小于 \(m\) 的多项式 \(r(t)\) 使得 \(p(t)=q(t)h(t)+r(t)\). 但是 \(0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=0h(A)+r(A)\), 所以 \(r(A)=0\). 如果 \(r(t)\) 不是零多项式，我们就能将它规范化得到一个次数小于 \(m\) 的首 1 零化多项式，这是一个矛盾. 所以 \(r(t)\) 是零多项式，从而 \(q(t)\) 整除 \(p(t)\), 商为 \(h(t)\). 如果存在两个最小次数的使 \(A\) 零化的首 1 多项式，这个论证表明它们每一个都整除另外一个，由于它们次数相同，其中一个必定是另一个的纯量倍数. 但由于两者都是首 1 的，纯量因子必为 \(+1\), 从而它们是相等的.     定义 1： 设给定 \(A\in M_n\). 使 \(A\) 零化的唯一的最小次数首 1 多项式 \(q_A(t)\) 称为