泛函分析笔记(三) 拓扑空间的基本概念

拓扑空间指一对 ( X , O ) (X,\mathcal{O}) (X,O) ，其中X是一个集合， O \mathcal{O} O 是 P ( X ) \mathcal{P}(X) P(X) 的一个子集，并需要满足以下条件。

有的地方说，拓扑空间就是一个集合和其上定义的拓扑结构构成的二元组 ( X , O ) (X,\mathcal{O}) (X,O) ，X的元素x 通常就是拓扑空间 ( X , O ) (X,\mathcal{O}) (X,O) 上的点。好像和上面的定义蛮接近的嗷，按这个说法来讲， O \mathcal{O} O 就是一个拓扑结构了。

所以我又找了一个根据拓扑结构来定义拓扑空间的定义，符号还用 X , O X,\mathcal{O} X,O

这个定义和最开始书上给的定义几乎是一样的，那个对 O \mathcal{O} O 的限制条件其实就是拓扑的条件嘛。

如果 ( X , O ) (X,\mathcal{O}) (X,O) ，是一个拓扑空间，称集合 X X X 被赋予一个拓扑(对应于 P ( X ) \mathcal{P}(X) P(X) 的子集 O \mathcal{O} O ) （欸！和我刚才说的一毛一样！）， X X X 中属于 O \mathcal{O} O 的子集称为开集；设 F F F 是 X X X 的子集，若 X − F X - F X−F 是开集，则 F F F 是闭集。

给定任何一个闭集族 ( F i ) i ∈ I (F_i)_{i \in I} (Fi​)i∈I​ ，其交集 ∩ i ∈ I F i \cap_{i\in I}F_i ∩i∈I​Fi​ 是闭集；给定任意有限个闭集 ( F j ) j = 1 n (F_j)^n_{j=1} (Fj​)j=1n​ ，其并集 U j = 1 n F j U_{j=1}^nF_j Uj=1n​Fj​ 是闭集；集合 X X X 和空集是闭集。 （可由De Morgan定律计算）

在拓扑空间 ( X , O ) (X,\mathcal{O}) (X,O) 中，点 x ∈ X x\in X x∈X 的邻域是X的包含由点x的某开子集的任何子集，点 x ∈ X x \in X x∈X 的所有邻域组成的集合记作 ν ( x ) \nu(x) ν(x)

R n \mathbb R^n Rn 中按欧几里得空间的度量确定的拓扑在X上的相对拓扑称为X上的通常拓扑。 这话还挺不是人话的。 按书上的话，有例子，就是比如 a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a,b∈R ，满足 a < b ax∈X;A∈ν(x)}

闭包: 包含A的所有闭子集的交集，记作 A ‾ \overline{ A} A ，有 A ‾ : = { x ∈ X ; ∀ V ∈ ν ( x ) , V ∩ A ≠ ∅ } = X − { i n t ( X − A ) } \overline{A}:=\{x\in X;\forall V\in \nu(x) ,V\cap A\not ={\emptyset} \} = X-\{int(X-A)\} A:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A​=∅}=X−{int(X−A)}

边界: A的边界为 A ‾ \overline{A} A 和 X − A ‾ \overline{X-A} X−A​ 的交集，记作 ∂ A \partial A ∂A ，即 ∂ A : = { x ∈ X ; ∀ V ∈ ν ( x ) , V ∩ A ≠ ∅ , V ∩ ( X − A ) ≠ ∅ } \partial A := \{x\in X;\forall V\in \nu(x), V\cap A \not ={\emptyset} ,V\cap(X-A)\not ={\emptyset}\} ∂A:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A​=∅,V∩(X−A)​=∅}

支集: f : X → K f:X\to K f:X→K 的支集是指集合 s u p p f : = { x ∈ X ; f ( x ) ≠ 0 } ‾ supp f:=\overline{\{x\in X;f(x)\not ={0}\}} suppf:={x∈X;f(x)​=0}​

稠集: 若 A ‾ = X \overline{A} = X A=X 则称 A A A 在 X X X 中稠密

可分: 包含一个有限可数无限的稠密子集，即存在 x n ∈ X , n ≥ 0 x_n \in X,n\ge 0 xn​∈X,n≥0 使得 ∪ n = 0 ∞ { x n } ‾ = X \overline{\cup_{n=0}^\infty\{x_n\}} = X ∪n=0∞​{xn​}​=X

Hausdorff: 如果对任意两个不同的点，存在x的邻域V和y的邻域W，使得 V ∩ W = ∅ V\cap W=\emptyset V∩W=∅ ，那么称 X 为 Hausdorff 空间或具有 Hausdorff 拓扑。（就是有两个不相交的邻域嘛？）

正规: 对X中任意给定的两个互不相交的闭子集 F 1 F_1 F1​ 和 F 2 F_2 F2​ ，存在互不相交的开子集 O 1 O_1 O1​ 和 O 2 O_2 O2​ ，使得 F 1 ⊂ Q 1 F_1\subset Q_1 F1​⊂Q1​ ， F 2 ⊂ Q 2 F_2\subset Q_2 F2​⊂Q2​ 。正规空间是Hausdorff空间。（比Hausdorff空间的条件更强）

极限: 若X为拓扑空间， x n ∈ X , n ≥ 0 x_n \in X,n\ge 0 xn​∈X,n≥0 ，若存在 x ∈ X x\in X x∈X ，对x的任意邻域V，存在整数 n 0 = n 0 ( V ) ≥ 0 n_0 = n_0(V)\ge 0 n0​=n0​(V)≥0 ，使得当 n ≥ 0 n\ge 0 n≥0 时 x n ∈ V x_n\in V xn​∈V ，则称x为序列 ( x n ) n = 0 ∞ (x_n)_{n=0}^\infty (xn​)n=0∞​ 的极限，记作 x = lim ⁡ n → ∞ x n    o r    x n → n → ∞ x    o r    x ( n → ∞ ) x = \lim_{n\to\infty}x_n ~~ or ~~ x_n \mathop{\rightarrow}\limits_{n\to\infty} x ~~or~~ x(n\to \infty) x=n→∞lim​xn​  or  xn​n→∞→​x  or  x(n→∞) 表示 x x x 为 收敛序列 ( x n ) n = 0 ∞ (x_n)_{n=0}^\infty (xn​)n=0∞​ 的极限

映射收敛: f n : X → Y f_n:X\to Y fn​:X→Y 的序列 ( f n ) n = 0 ∞ (f_n)_{n=0}^\infty (fn​)n=0∞​ 点态收敛于映射 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y 是指对每个 x ∈ X x\in X x∈X ,当 n → ∞ n\to \infty n→∞ 时吗， f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) fn​(x)→f(x)

乘积拓扑: 对任意一族拓扑空间 ( X i , O i ) ， i ∈ I (X_i,\mathcal{O}_i)，i\in I (Xi​,Oi​)，i∈I ，乘积集合 X = Π i ∈ I X i X=\Pi_{i\in I}X_i X=Πi∈I​Xi​ 上的乘积拓扑定义为：在此拓扑下子集 O ⊂ X O\subset X O⊂X 称为开集是指对任何 x ∈ O x\in O x∈O ，存在开集 O i ∈ O i O_i\in\mathcal{O}_i Oi​∈Oi​ 的有限族 ( O i ) i ∈ J ( x ) (O_i)_{i\in J(x)} (Oi​)i∈J(x)​ ，使得 x ∈ ( Π i ∈ J ( x ) O i ) × ( Π i ∈ I ( x ) X i ) x\in(\mathop{\Pi}\limits_{i\in J(x)} O_i) \times (\mathop{\Pi}\limits_{i\in I(x)} X_i) x∈(i∈J(x)Π​Oi​)×(i∈I(x)Π​Xi​) 且 ( Π i ∈ J ( x ) O i ) × ( Π i ∈ I ( x ) X i ) ⊂ O (\mathop{\Pi}\limits_{i\in J(x)} O_i) \times (\mathop{\Pi}\limits_{i\in I(x)} X_i) \subset O (i∈J(x)Π​Oi​)×(i∈I(x)Π​Xi​)⊂O 其中 I ( x ) = I − J ( x ) I(x) = I-J(x) I(x)=I−J(x)