【课堂笔记】运筹学第二章：对偶问题

2023-10-14 14:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

标题~ 本系列文章主要用于笔者期末复习，行文混乱，请见谅备考补充及零碎知识点弱对偶定理推论最优性强对偶定理互补松弛性✨证明过程(推荐看一看)换言之:对偶变量和松弛变量的乘积为0 例子应用影子价格定义内涵注意问题检验数的意义问题问题：什么是退化的最优解对偶问题的引入从另一个角度思考总结对偶问题的一般形式原问题对偶问题✨以矩阵描述(更加直观)多做题,就知道什么是对偶了对称形式非对称形式✨✨✨【一定要掌握】规律推导过程复习单纯形法计算过程举例说明对偶单纯形法单纯形法基本思路 ❓问题：怎么（什么时候）添加人工变量❓问题：有非零人工变量怎么办对偶单纯形法基本思路确定初始基解问题为什么对偶问题的最优性一直都是满足的跟单纯形法的区别与联系✨✨例题讲解✨✨🙌注意看，对偶单纯形法的条件是min还是max【我看到的是min配合大于等于】注意：对偶问题不需要用对偶表，看视频就好⚠️⚠️⚠️⚠️下面的例题做法非考试正规做法！！但是求单纯形法规则是一样的运输问题建模产销平衡问题建立模型求解模型【表上作业法】确定可行解方法①：左上角填充法确定可行解方法②：最小元素法确定可行解方法③：沃格尔法迭代方法①：闭回路法入基变量选择出基变量选择产销不平衡问题产量大于销量有转运的问题产销不确定听说运筹学这门课挺好的，有值得一听的必要；此篇用作课堂总结、期末复习及记录。或许与教材内容会有很大程度重复。

本系列文章主要用于笔者期末复习，行文混乱，请见谅

本章开始会适当结合一些B站网课【运筹学】应试向基础教程

备考补充及零碎知识点对偶问题的对偶问题就是原问题矩阵表达要弄清楚矩阵 A A A和 C C C分别是什么在这里插入图片描述

最好记住这几个矩阵,进而记住弱对偶定理,松弛定理弱对偶定理

在这里插入图片描述

结合着矩阵形式表述

推论原问题最优解目标函数值是对偶问题目标函数值的下界，对偶问题最优解目标函数值是原问题目标函数值的上界。

对偶问题的解一定大于原问题的解

原问题有无界解→对偶问题无可行解，对偶问题有无界解→原问题无可行解，但逆不成立（对偶问题无可行解时，原问题也可能无可行解)原问题有可行解而对偶问题无可行解→原问题为无界解，反之(对调"原问题"和"对偶问题")亦然最优性

在这里插入图片描述

强对偶定理

在这里插入图片描述

互补松弛性✨

互补松弛性😦双最优解情况下）若原问题中某一约束条件对应的对偶变量( y i y_i yi)值为非零，则该约束条件取严格等式;若约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为0，即:

若 y i > 0 y_{i}>\mathbf{0} yi>0 ，则有 ∑ j = 1 n a i j x j = b i \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i} ∑j=1naijxj=bi ，即松弛变量值为 0若 ∑ j = 1 n a i j x j < b i \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}arjcj−zj∣arj

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