高中数学

由题设条件的正三棱柱，易知 ， ，则 是二面角的平面角。

在等腰 中， 。所以面与面ABC所成的锐二面角为 。

二、补形法

将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。

解法2：延长 与AC，相交于点P，连结BP，则所求的二面角是 （图3）

图3

在 中，由 ，且 ，可得 。

再由正，可得AC=BC=PC，则 。

又 。

所以 是二面角的平面角。

由等腰 ，知 。

三、射影法

设二面角 的大小为，面 内有一个面积为S的封闭图形，该图形在面 内的射影面积为S'，则 。利用这个结论，只要计算S和S'的值，就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。

解法3：由正三棱柱的条件，可知是 在底面内的射影。取 的中点N，连结MN，易求得

则等腰的面积

，

等边的面积

。

设所求二面角的大小为，由

，得 。

四、向量法

设二面角 的大小为， 分别是平面和平面的法向量，则角与角< >相等或互补。所以 。特别地，当为锐角时， 。

解法4：以B为原点，与AC平行的直线为x轴，与AC垂直且相交的直线为y轴， 为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，知B（0，0，0），M ， 。从而 。

图4

设平面的法向量是 ，则由 ，有

取特值 ，可解得 。所以 。

显然可取平面ABC的一个法向量为 。

设平面与平面 所成锐角二面角为，由

，

得所求二面角的大小为。

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