【高考立体几何】准确判断二面角余弦值正负的方法

    在理科数学的高考卷中，立体几何作为必考大题每年都会以较为固定的形式考察，而它的第二问常常考察“二面角”，最为常见的形式就是求解二面角的余弦值。不少同学在计算余弦值时经常会遇到判断二面角是钝角还是锐角的问题（即判断余弦值的正负），一般情况下，可以通过简单观察原图来进行大略的判断，可一旦出现：原图绘制不严谨；题设的二面角存在变动；肉眼难以看出二面角的锐钝等情况时，大略的判断往往就不奏效了

    本文给读者介绍一种用向量运算直接准确判断二面角余弦值正负的方法，此法套路性非常强，不需要深入理解原理也能很好地使用，同时计算量也相当友好，不会出现繁琐的数值运算等。作者能力有限，文章存在纰漏在所难免，望读者朋友不吝指出

——朦朦

已知两平面、，且的一个法向量为，的一个法向量为；存在点，点

用公式：  （注意！分子不能加绝对值）

求出两法向量夹角（记为）的余弦值

连接 面上的任意点 与 面上的任意点 ，构成向量（或）

做以下运算：

   ...........①

   ...........②

将得到的两个结果①与②进行比较：

如果①与②符号相同，则面与面成的二面角就是两平面的法向量夹角，此时二面角余弦值就是先前算出来的 

如果①与②符号相反，则面与面成的二面角为两平面的法向量夹角的补角，此时二面角余弦值为先前算出来的  的相反数，即 

（这一部分可以跳过，直接看应用）

① 当向量  与两个法向量 、 的夹角同为锐角或同为钝角（即点乘后所得结果同号）时，二面角的大小与两个法向量的夹角相等，如下图：

②当向量  与其中一个法向量  的夹角为锐角，而与另外一个法向量  的夹角为钝角（即点乘后所得结果异号）时，二面角的大小与两个法向量的夹角互补，如下图：

总结起来就是“同等异补”，即向量  与两法向量 、 的点乘结果的符号相同，则二面角的大小与两个法向量的夹角相等，否则就是互补的关系。

这道题里，红线下方的步骤就是用上述方法判断二面角余弦值正负，当然，读者在自己做题的时候，不必写得如此详细，甚至可以在草稿纸上运算这些步骤，只把结果写在答卷上也完全没问题

值得注意的地方就是，与观察法不同，在计算两法向量夹角余弦（即使用公式   ）时，不能在分子上加绝对值，否则就不能用此法来判断二面角余弦值的正负了