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主要内容: 矩阵的逆、伪逆、左右逆 矩阵的左逆与最小二乘 左右逆与投影矩阵 一、矩阵的逆、伪逆、左右逆 1、矩阵的逆 定义:设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。 可逆条件:A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当 伴随矩阵法、初等变换法
伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。 如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。 伪逆矩阵求法:A 为m*n矩阵,r代表矩阵的秩: 若矩阵A是方阵,且|A|!=0,则存在AA-1=E; 若A不是方阵,或者|A|=0,那么只能求A的伪逆,所谓伪逆是通过SVD计算出来的; pinv(A)表示A是伪逆: 如果A列满秩,列向量线性无关,r=n,Ax=b为超定方程组,存在0个或1个解,那么 如果A行满秩,行向量线性无关,Ax=b为欠定方程组,存在0个或无穷个解,那么 如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解 关于最小二乘可以参考:最小二乘的几何意义及投影矩阵http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5053354.html 其实,最小二乘就是一个超定方程组的求解问题,根据上述的了解,超定方程组的求解方法之一就是通过求伪逆的形式,具体来说就是求左逆。即:
最小二乘也可以从几何的角度来考虑,那就是下面要说的投影矩阵。 三、左右逆与投影矩阵左逆中, 右逆中, http://baike.baidu.com/link?url=whnNGl6wlBJ7bIzn-ldxZ3KfXj03WlXxuJvLw2VPLcCjLvFtSU_7csPUyNQ57cMzk9zz-y6sG_7hrt88NHcg2a http://baike.baidu.com/link?url=9BBn2Hc2IgUjr2bwr8CGOFvNRfSWZB3AW6_p5DjTxY74OtZJJYvXIMQPmQ3zDpDsX36HLkEbeskvVczEruqHFa http://shijuanfeng.blogbus.com/logs/206966888.html http://www.blogbus.com/shijuanfeng-logs/238839798.html http://blog.sina.com.cn/s/blog_438e26440102vsm8.html |
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