各类重积分

问题集锦：

1、什么时候可以带入边界方程？

二重积分、三重积分不可以用代入法；曲线积分,曲面积分是可以用的. 一般来讲,重积分(无论是二重/三重的)都不能把区域方程代入被积函数； 曲线/曲面积分(无论是第一类/第二类)都能把曲线/曲面方程代入被积函数. 所以说,当你利用格林公式或斯托克斯公式以后,要注意,这时候就不能用代入法

二重积分三重积分是对一个区域积分，其方程是指这个区域的边界而不是表达式。线积分和面积分是对一个线或面积分，给出的方程，积分里的每一个点都符合该方程，所以可以代入。

2、

奇偶对称性的使用：①看积分区域   ②看被积函数替换后奇偶性

五个 —— 偶倍奇零：定积分、二重、三重、一线、一面

轮换对称性的使用：指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名。

如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy

3、上下限问题

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲线积分的下限永远小于上限。

定积分的概念从计算“曲边梯形的面积”等问题引入二重积分从计算“曲顶柱体体积”引入 三重积分则是从求“三维空间中的有界物体的质量”引入的 第一类曲线积分从求“物质曲线的质量”中引入 第二类曲线积分从计算“力场做功问题”引入 第一类曲面积分从求“物质曲面质量问题”引入 第二类曲面积分则是从“讨论流量问题”引入

 定积分、重积分、线积分、面积分之间的关系

 牛顿莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系

设是定义在平面有界闭区域D上的有界函数，则

设 ，则曲顶柱体的体积

① 奇偶性

 ② 轮换对称性

①直角坐标系下

② 二重积分的换元法

③极坐标系

 ①奇偶对称性

②轮换对称性

 dS是什么？

①奇偶对称性

② 轮换对称性

① 奇偶对称性

个人认为实际上就是看做功方向与大小正负是否抵消。

 【说明】第二类曲面积分的计算与第一类曲面积分相比，有相同点，也有不同点:

参考来源

李林高数讲义 b站心一学长

多元微积分——曲线、曲面积分的几何、物理意义，以及积分间的联系 - 知乎