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四元数
定义及性质模长(范数)四元数加减法四元数标量乘法四元数乘法Graßmann 积纯四元数逆和共轭
四元数的定义和复数非常类似,唯一的区别就是四元数一共有三个虚部,而复数只有一个。所有的四元数q∈H(H代表四元数的发现者William Rowan Hamilton)都可以写成下面这种形式: 与复数类似,四元数其实就是对于基{1,i,j,k}的线性组合,四元数也可以写成向量的形式。 仿照复数的定义,我们可以暂时将一个四元数q=a+bi+ci+dk的模长(或者说范数(Norm))定义为: 与复数类似,四元数的加法只需要将分量相加就可以了.如果我们有两个四元数q1=a+bi+cj+dk,q2=e+fi+gj+hk,那么它们的和为: 如果我们有一个四元数q=a+bi+cj+dk和一个标量s,那么它们的乘积为对应项系数相乘: 四元数之间的乘法比较特殊,它们是不遵守交换律的,也就是说一般情况 下q1q2 ≠ q2q1.这也就有了左乘和右乘的区别.如果是q1q2,那么我们就说 「q2 左乘以q1」,如果是q2q1,那我们就说「q2 右乘以q1」.除了交换律之外,我们经常使用的结合律和分配律在四元数内都是成立的。 那么,如果有两个四元数𝑞1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 𝑗 + 𝑑𝑘 和𝑞2 = 𝑒 + 𝑓 𝑖 + 𝑔𝑗 + ℎ𝑘,那么它们的乘积为: 利用上式表格,对四元数乘积的结果进一步化简: 对上述q1q2乘积结果进行重新整理如下所示: 写成有序对形式为: 如果一个四元数能写成这样的形式: 因为四元数是不遵守交换律的,我们通常不会将两个四元数相除写为𝑝/𝑞 的形式。取而代之的是将乘法的逆运算定义为𝑝𝑞−1 或者𝑞−1𝑝,注意它们的结果一般是不同的。 其中,𝑞−1 是𝑞 的逆(Inverse),我们规定: 我们定义,一个四元数𝑞 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 𝑗 + 𝑑𝑘 的共轭为𝑞∗ = 𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐 𝑗 − 𝑑𝑘(𝑞∗ 读作「q star」)。如果用标量向量有序对的形式来定义的话,𝑞 = [𝑠, v] 的共轭为𝑞∗ = [𝑠, −v]。 共轭四元数的一个非常有用的性质就是: |
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