求算子范数的灵魂一步

论凌晨四点半突然来灵感的时候有多激动！总结了三个小时（凌晨1点多到4点多），反复观察了好几个例题，终于有点灵感了。一眼就能看出怎么找单位元的大神别来沾边！希望能帮助到和我一样菜的、还在泛函里苦苦挣扎的家人朋友。

写在前面的注：

（黑体这句话什么意思？如果你是熟悉计算一个算子的算子范数的，应该是很熟悉流程的，一般这个方向——“ \le ”是可以由表达式直接取范数就可以证出来的，从下面的例子也容易看出。本文着重于算子范数大于等于的这个方向）

给定一个线性赋范空间及其上的一个算子（空间和算子都不必须是太具体的，比如 L^{P}_{\left [ a,b \right ]} 算是具体的，“设X为线性赋范空间”这种是不算太具体的。），要求计算它的范数。这种题目是泛函分析里面为数不多的有点类似于计算题的题目，在证明一些共轭空间的具体表现、不等式的逆问题、算子有界性、保范延拓等问题上又有着应用，本质上都是要证明算子范数等于某个“东西”，然后流程就是“证明算子范数大于等于这个东西，小于等于这个东西，然后就等于这个东西了，然后就得到算子是有界的......”。

不知道在学习这部分内容的时候是否有家人有这样的感受：证明算子范数小于等于某个“东西”是很简单的，假如说给了空间的具体表达式（一般都是给的，不然就没法算了是吧，我之所以分了“有具体表达”和“无具体表达——X”是因为确实碰到了，下面会给出例子。），只需要两边取范数然后利用范数定义对放大就行了；但是最离谱的是另外一边不等号，也就是算子范数大于等于上面已经“弄出来”的这个“东西”。

上面这个问题困扰了我好久（可能真的是因为菜吧），毕竟取法或者构造方法花里花哨，什么都有（有取sgn的、固定某个值的——比如假设max在某一点取到、有“归一化的”），使得你即使此时看懂了，后面感觉要是自己做也还是不会。今晚（2023-2-6）下定决心把这个小知识点弄懂，经过几个小时（就是这么菜）的思考，感觉有点灵感了，当然因为是刚刚有灵感的（之前的ipad上的笔记不想挪动和补充了，就写知乎了），所以还不完善，希望看到这篇文章有启发的家人朋友批评指正！下面是正文。

先说结论，就是怎么样保证构造的大方向不错，也就是在这么多种构造方法里面，你应该根据题目选择哪一种（有取sgn的、固定某个值的——比如假设max在某一点取到、有“归一化的”），其实也非常简单，大致就是两类：“构造出范数为1的”和“归一化出范数为1的”（虽然归一化也算构造或者说本质上都是归一化，但是为了区分特例，我们先这样叫，简称构造法和归一化法）因为不这样做的话没法找。

针对上面两类方法，我们具体找个例子展开说说，所用的例子来自刘培德老师编著的《泛函分析基础》（修订版）65页（Holder不等式的逆问题）、84页（最佳逼近元的判定定理证明）。

下面的两个题目中，黑字为原版内容，红字为“自己说的话”，蓝色为补充的证明。绿字为小总结。

这个问题是属于我分的第一类，也就是需要用构造法去找到单位元的类型，因为这里的空间是 l^p,l^q 。

设 1 < p d>0. 设 E_1=span\{x_0,E\} ，则 \forall x_1\in E_1,x_1=z+\alpha x_0, 其中 \alpha \in \Phi,z\in E .令

f_0(x_1)=\alpha d,\quad \forall x_1 = z+\alpha x_0 \in E_1 \\ 则 f_0 是 E_1 上的线性泛函， f_0(E)=0,f_0(x_0)=d. 由于任何 x_1\in E_1 ,

|f_0(x_1)| = |\alpha|d\le |\alpha| \Vert \dfrac{z}{\alpha}+x_0 \Vert=||z+\alpha x_0||=||x_1||，\\ 所以 ||f_0||\le1.

\forall \epsilon>0, 取 z\in E 使得 ||x_0-z||{\color{red}{ 具体地，我们作如下的推理：\\ 1、先确定大方针，即由于此时是抽象空间X，那么找E_1的单位元肯定是通过归一化找的。\\ 2、和第一类一样，假设我们有上帝之眼，一下子就知道能找到某个E_1上的元，我们记成\Delta，则\dfrac{\Delta}{||\Delta||}就是E_1上的单位元了。 \\ 3、我们最后需要用f_0作用到这个点上，也就是||f_0||\ge|f_0(\dfrac{\Delta}{||\Delta||})|=\dfrac{|f_0(\Delta)|}{||\Delta||}.\\ 4、到这一步先停一下，我们观察到使得这个式子等于1的话，则{|f_0(\Delta)|}={||\Delta||}，这提示我们，我们能不能找到E_1中的某个点\Delta,它成立{|f_0(\Delta)|}={||\Delta||}.\\ 5、（这一步是这种方法最关键的一步，代入f_0的表达式去凑）要满足4、中的式子，也就是||\Delta||=|f_0(\Delta)|=|\alpha|d；而\Delta的一般表达式为z+\alpha x_0，故||z+\alpha x_0|=|||\Delta||=|f_0(\Delta)|=|\alpha|d,进一步地省略中间的等号，得到 ||\dfrac{z}{\alpha}+x_0||=d\\ 6、也就是说你能不能找到一个点满足上式，上式是什么？，带了d的啊，那么d又是什么？不就是||x_0-y||么？那么我是不是只要取合适的z和\alpha就可以构造出d了。\\下面我们就从原文的\forall \epsilon>0开始改}}

{\color{blue}{ 由于E是线性子空间，y\in E，则-y \in E,从而可以取\alpha=1,z=-y，显然x_1=z+\alpha x_0=-y+x_0=(x_0-y)\in E_1;由于||x_0-y||=d，则||f_0||\ge |f_0(\dfrac{x_0-y}{||x_0-y||})|=\dfrac{f_0(x_0-y)}{||x_0-y||}=\dfrac{f_0(x_0)+f(-y)}{d}=1.}}

{\color{green}{ 上面这种做法不知道可不可以，反正我验证过来貌似没问题，这启发我们，遇到抽象空间X的时候，找单位元首先是确定用归一化去找，其次假设有上帝之眼有这么一个点做归一化后用算子去映射一下，最后利用算子的具体表达一直往下推，看看有没有这样的点}}

凌晨两三个小时感觉是有点收获的，学数学真的有时候容易上头，这个灵感是刚刚想到了，所以肯定还是不成熟的，如果有错误请家人们批评指正。

因为我始终查不到大家有没有什么机械一点的方法去构造单位元的方法，这对我这种菜鸡真的很重要啊，总不能证明只证一半吧！！！