微积分基础

您所在的位置：网站首页 › 乘法函数求导公式 › 微积分基础

微积分基础

2024-05-30 11:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

几何角度解释物理角度解释

生理上知道如何画出切线，步骤为--先形象化几何问题，然后大脑就会找出答案，现在我们要从数学机理上分析人是以什么步骤画出切线的。

1. 瞬时变化率

平均变化率-平均速度

瞬时变化率-瞬时速度

从平均速度引入瞬时速度比较合适。举例，对于平均速度来说，当时间差接近0时，平均速度就变成了瞬时速度

平均速度又等于两点的斜率，当时间差接近0时，斜率(瞬时斜率)又等于曲线切线的斜率，因此曲线切线的斜率就是瞬时速度

利用无限小增量的方式，就能得到某点的瞬时斜率

$avg \; speed = \frac{\Delta distance}{\Delta time} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} = \frac{100m}{9.58s} = 10.44 \; \frac{m}{s} = m \; or \; slope$

$instantaneous \; speed = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

斜率就是两点之间的平均变化率

不指明方向叫速率，指明方向叫速度

2. 极限和连续 2.1 极限

极限是微积分的基础，尽管它非常重要，却是一个很简单的概念。极限又分为左极限和右极限。通常情况下，x 是变量，但对于极限情况，x 固定不变，Δx 是变量

定义(epsilon delta definition)：对于给出的任何大于0的ε，无论ε等于多少，都存在一个大于0的Δ，使得当0 瞬时变化率：

$\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad \rightarrow \quad \frac{dy}{dx}$

例子1（将x考虑为时间）：

$s = distance, \quad \frac{ds}{dt} = speed$

$q = charge, \quad \frac{dq}{dt} = current$

例子2（将x考虑为海拔高度）

$T = temperature, \quad \frac{dT}{dx} = temperature \;\; gradient$

求导公式分两种：对特定函数的求导、通用的求导法则

3.1. 特定函数的求导

求多项式、指数对数、三角函数等的导数

1. 幂函数的导数（n 为有理数）

$\frac{d}{dx} x^n = n x ^{n-1}$

2. 三角函数

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = - \sin x$

$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos ^2 x}$

3. 指数和对数函数

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} a^x = (\ln a) a^x$

证明（没有按照上面的顺序）

$\begin{align*} \frac{d}{dx} x^n &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sum_{k=0}^{n} (^n _k) x^{k-n} \Delta x ^k - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^n + (^n _1)x^{n-1} \Delta x + (^n _2) x^{n-2} \Delta x^2 + \cdots + \Delta x^n - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (^n _1) x^{n-1} + (^n _2) x^{n-2} \Delta x + \cdots + \Delta x^{n-1} \\ &= (^n _1) x^{n-1} \\ &= n x^{n-1} \end{align*}$

证明1，已知 e 的定义（复利引入了e的定义）的情况下：

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \ln x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x + \Delta x}{x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln (1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln (1+\frac{1}{n})^{\frac{n}{x}} \left \{ \frac{\Delta x}{x} = \frac{1}{n}, \Delta x = \frac{x}{n} \right \} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln ((1+\frac{1}{n})^n)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n) \\ &= \frac{1}{x} \end{align*}$

使用链式法则求导：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = (\frac{d}{dx} e^x) \cdot (\frac{1}{e^x})$

又因为：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = \frac{d}{dx} x \ln e = \frac{d}{dx} x = 1$

所以：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = (\frac{d}{dx} e^x) \cdot (\frac{1}{e^x}) = 1$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

此处为换底法，也可以使用对数微分法

$\begin{align*} \frac{d}{dx} a^x &= \frac{d}{dx} (e^{\ln a})^x \\ &= \frac{d}{dx} e^{x \ln a} \\ &= (\ln a) e^{x \ln a} \\ &= (\ln a) a^x \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x) - \sin x}{ \Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos \Delta x + \sin \Delta x \cos x - \sin x }{ \Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} ( \sin x (\frac {\cos \Delta x - 1}{\Delta x}) + \cos x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}) \\ &= \cos x \end{align*}$

上面的证明过程利用了“极限与连续”中的结论

3.2. 通用的求导法则

求导四则运算（加法法则，乘除法则），常乘数法则，链式法则，隐式函数微分法，对数微分法

$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x) \qquad or \qquad (u+v)' = u' + v'$

$\frac{d}{dx} ( h(x) \cdot g(x)) =h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)$

$(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$(cu)'=cu'$

$\frac{d}{dx} h(g(x)) = g'(x) \cdot h'(g(x))$

证明

1. 乘法法则（多变量微积分的链式法则也可以证明该法则）

$\begin{align*} & \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(u(x+\Delta x) - u(x)) v(x+\Delta x) + u(x)(v(x+\Delta x) - v(x))}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} v(x+\Delta x) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} u(x) \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \\ &= u'v + uv' \end{align*}$

2. 除法法则证明过程类似于乘法法则

3. 链式法则

链式法则是一个合成规则，核心思想是换元法，掌握了链式法则，你能征服世界

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \qquad \Rightarrow \qquad u(v(x))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

举例

$\frac{d}{dt} (\sin t) ^{10}$

$let \quad x = \sin t$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} (\sin t)^{10} &= \frac{d x^{10}}{dx} \cdot \frac{dx} {dt} \\ &= 10 x^9 \cdot \cos t \\ &= 10 (\sin t)^9 \cos t \end{align*}$

3.2.1 隐函数微分法

隐式函数微分法：对于一个等式，不需要解出未知的函数，直接对等式两边微分的方法，称为隐式函数微分法

链式法则是非常给力的技巧，而隐函数微分则是一种更巧妙的代数方法，不用将等式表示成函数，因此叫“隐函数”。事实上，显式函数方法和隐式函数方法都可以用。隐式函数微分法主要用于求导任意反函数，只要知道原函数的导数就行。

例子1

$y = x^{\frac{m}{n}}$

$y^n = x^m$

$\frac{d}{dx}y^n = \frac{d}{dx}x^m$

因为 y 是 x 的函数，运用链式法则：

$\frac{d}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} y^n = \frac{d}{dx}x^m$

$\frac{d}{dy}y^n \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} x^m$

$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = m x^{m-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}$

将 y 带回去：

$\frac{dy}{dx} = \frac{mx^{m-1}}{n (x^{\frac{m}{n}})^{n-1}} = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}$

3.2.2. 对数微分法

对数微分法是处理指数函数的一个典型方法

例子（？有点循环证明的味道）

$a_k = (1 + \frac{1}{k})^k$

$\lim_{k \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{k})^k = e$

证明：

$set \quad \frac{1}{k} = \Delta x, \quad so \quad \Delta x \rightarrow 0 \quad when \quad k \rightarrow \infty$

$\begin{align*} a_k &= e^{\ln a_k} \\ &= e^{\ln (1+\frac{1}{k})^k} \\ &= e^{\ln (1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}} \\ &= e^{\frac{1}{\Delta x} \ln (1 + \Delta x)} \\ &= e^{ \frac{ \ln(1+\Delta x) - \ln 1 }{\Delta x} } \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{k \rightarrow \infty} a_k &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} e ^ { \frac{\ln (1+\Delta x) - \ln 1}{\Delta x} } \\ &= e^{ (\frac{d}{dx} \ln x) |_{x=1} } \\ &= e^{\frac{1}{x} | _{x=1}} \\ &= e \end{align*}$

3.3. 导数的应用

线性近似，二阶近似，曲线画图，牛顿迭代法，中值定理

4. 微分、积分

定义：如果有一个函数 y = f(x)，那么 y 的微分记做 dy ，且定义为 dy = f'(x) dx 。两边同时除以 dx ，就是导数的定义。该记法的思想是用 dx 代替 Δx，dy 代替 Δy

反导函数定义（由微分的定义引出）：

$G(x) = \int g(x) dx$

大 G(x) 为小 g(x) 的反导函数，又称不定积分。为什么称为不定积分？是因为 C 无法确定，因此无法给出一个确定的函数

积分唯一性：

$\text{ if } F' = G' \quad \text{then} \quad F(x) = G(x) +C$

事实上，积分比求导难很多，有时甚至积不出来，所以积分有很多技巧，例如变量代换

特定函数的反导

多项式、三角函数，指数对数的反导，以及其它函数的反导（三角代换）

$\int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

$\int \sin x dx = - \cos x + C$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln \left | x \right | + C$

$\int e^x dx = e^x$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \sin^{-1} x + C$

$\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \tan^{-1} x + C$

通用的反导法则(积分法则)

加法、常乘数、反乘法法则，反乘法法则又推导出了分部积分，反链式法则，定积分性质，部分分式展开（拉普拉斯变换中也有此方法，即把函数转换为容易积分的分式）

$\int (f(x) + g(x)) dx = \left $\int f(x) dx + \int g(x) dx \right $ + C$

$\int C f(x) dx = C \int f(x) dx \quad (\text{C doesn't depend on x})$

$\int \left $ f'(x) \;g(x) + f(x) \;g'(x)\right $ dx = f(x) \; g(x)$

分部积分（比反乘法法则更有用，每进行一次，f(x)的指数会降低一次）：

$\int f(x) \; g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx$

$\int g'(x) f'(g(x)) \; dx = f(g(x))$

反链式看不出来的话，可以使用变量代换

定积分性质：

$\int _a ^b f(x) dx + \int _b ^c f(x) dx = \int _a ^c f(x) dx$

$\int _a ^a f(x) dx = 0$

$\int _a ^b f(x) dx = - \int _b ^a f(x) dx$

$\text{if } f(x) \leqslant g(x) \text{ then } \int _a ^b f(x) dx \leqslant \int _a ^b g(x) dx \qquad (ab)$

微分应用--微分方程

微分方程：包含微分的方程称为微分方程

注意：传统方程的解是一个数字，微分方程的解是一个函数

例1

$(\frac{d}{dx} + x)y=0$

$\frac{dy}{y}=-x dx$

$\int \frac{1}{y} dy = \int -x dx$

$\ln y = - \frac{1}{2} x^2 + C$

$e^{\ln y} = e^{-\frac{1}{2}x^2 + C}$

$y = A e^{-\frac{1}{2} x^2} \quad (A=e^C)$

例2

$\begin{align*} & \frac{dy}{dx}=x^2+1 \\ & dy = (x^2+1) \; dx \\ & \int dy = \int (x^2+1)\;dx \\ & y = \frac{x^3}{3} + x + C \end{align*}$

4.1. 如何理解定积分

定积分有多种理解方式，其中一种就是“曲线下的面积”

$\text{area} = \int _a ^b f(x) dx$

从几何上讲，积分只是“对许多宽很小的矩形面积求和”，精确地说，x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积

导函数曲线下的面积等于原函数两个函数值的差，因此可以利用积分求曲线下的面积：

$\begin{align*} & F'(x) = f(x) \\ & F(x) = \int f(x) \; dx \\ & \int _a ^b f(x) \; dx = F(b) - F(a) \end{align*}$ 通过“时间距离方程”可以说明为什么曲线下的面积等于原函数两个值的差：

假设“时间距离方程”及其导函数“时间速率方程”为：

$\begin{align*} & F(t) = 2t^3 \\ & F'(t) = f(t) = 6t^2 \end{align*}$

通过“时间距离方程”求1秒到2秒经过的距离：

$distance = F(2) - F(1) = 14$

通过“时间速率方程”求1秒到2秒经过的距离：

$distance = f(1) * \Delta t + f(1+\Delta t) * \Delta t + f(1+ 2\Delta t) * \Delta t + \cdots$

当δt趋于0时，通过“时间速率方程”求得的距离近似等于“时间距离方程”的结果。

又因为：

$f(1)*\Delta t, f(1+ \Delta t)*\Delta t, \cdots$

为导函数曲线下的一系列长方形的面积，因此如果想求某个曲线下的面积，可以先对曲线积分，然后利用积分求得曲线下的面积

进一步扩展，可以利用积分思想求旋转体的体积(圆盘方法，壳方法)。

假设导函数沿x轴旋转，旋转体的体积（圆盘方法）为：

$\begin{align*} & A=\pi (f(x))^2 \\ & V_d = \pi (f(x))^2 \; dx \\ & V_t = \int \pi (f(x))^2 \; dx \end{align*}$

假设导函数沿y轴旋转，旋转体的体积（壳方法）为：

$\begin{align*} & C = 2 \pi r = 2 \pi x_1 \\ & A = C \cdot h = 2 \pi x_1 \cdot f(x_1) \\ & V_{shell} = A \cdot dx = 2 \pi x_1 \cdot f(x_1) \cdot dx \\ & V_t = \int 2 \pi x f(x) dx \end{align*}$

4.2. 例子 4.2.1. 换元法

$\int (\sin x)^3 \; \cos x \;dx$

$let \quad u=\sin x , \quad \frac{du}{dx}=\cos x$

$\int (\sin x)^3 \; \cos x \; dx = \int u^3 \frac{du}{dx} dx = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 = \frac{1}{4} (\sin x)^4$

4.2.1.1. 三角换元法

三角换元法隶属于换元法

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2x^2}} \; dx = \int \frac{1}{\sqrt{3(1-\frac{2}{3}x^2)}} \; dx$

$set \quad \frac{2}{3} x^2 = (\sin \theta)^2$

$\Rightarrow \theta = \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \; x$

$x = \sqrt{\frac{3}{2}} \sin \theta \qquad \frac{dx}{d \theta} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta$

$\begin{align*} & \int \frac{1}{\sqrt{3(1-\frac{2}{3} x^2)}} \; dx \\ & = \int \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta \; d \theta}{\sqrt{3(1- (\sin \theta)^2)}} \\ & = \int \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta \; d \theta}{\sqrt{3} \cos \theta} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \theta + C \end{align*}$

将Θ代回去：

$\frac{1}{\sqrt{2}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} x + C$

例2：

$\int \sin^m x \cos^n x dx$

根据 m,n 奇偶的情况，计算方法不同

4.2.2. 分部积分

$\int e^x \cos x \; dx = \frac{e^x \sin x + e^x \cos x}{2}$

证明：

$assume \quad f(x) = e^x, \quad g'(x) = \cos x$

$\int e^x \cos x \; dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \; dx$

$assume \quad f(x) = e^x, \quad g'(x) = \sin x$

$\begin{align*} \int e^x \cos x \; dx &= e^x \sin x - \int e^x \sin x \; dx \\ &= e^x \sin x - (e^x \cdot -\cos x - \int (e^x \cdot -\cos x) dx ) \\ &= e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \; dx \\ 2 \int e^x \cos x \; dx &= e^x \sin x + e^x \cos x \\ \int e^x \cos x \; dx &= \frac{e^x \sin x + e^x \cos x}{2} \end{align*}$