质心系角动量定理(质心角动量定理公式)

又称动量矩定理。

表述角动量与力矩之间关系的定理。对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。

动量矩定理可用来解决质点系动力学中与转动有关的问题。一般情况下，对于O点是动点的，这个定理不成立，但O点是质点系的质心时例外。

对于有若干质点组成的质点系来说，质点系以外的物体称作外界。

外力：外界对质点系内质点的作用力。

内力：质点系内诸质点间的相互作用力，性质：内力的矢量和为零（不是平衡力系）。

质点系的动量：质点系诸质点的矢量和。

推导：对于第i个质点：

,

(

)

质点系动量的变化是由外力引起的：

质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和，即：

(1)

这就是质点系动量定理。

是各质点的动量，

是各质点外力的矢量和。

(1)式在直角坐标系中的投影式为：

(2)

由(1)式可得：

(3)

即：质点系外力的元冲量的矢量和等于动量的微分。

用

和

分别表示t0和t时质点系的动量，对(3)式两端积分得：

(4)

(4)式表明：在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力的矢量和在这段时间内的冲量——冲量表示的质点系的动量。

二．

质心运动定理

由质点系动量定理

：

，

表示各质点的位置。

,

设

表示质点系的总质量，则：

(5)

定义：

(6)

直角坐标系中的投影：

若质点是连续的，则：

(7)

(6)式或(7)式所确定的空间点和质点系密切关联，叫做质点系的质量中心，简称质心。

表示质心的位置矢量，

表示质心坐标，是质点系质量分布的平均坐标，即：以质量为权的平均坐标。

所以：质点系的动量：

即：体系的动量等于质心的动量。

另外，用

表示质心加速度，则(5)式可以写作：

(8)

这就是质心运动定理，直角坐标系中的投影式为：

(9)

(9)式表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。

注：内力不影响质心的运动状态。

(8)式或(9)式和牛顿第二定律的形式一样，可知：把实际物体抽象为质点并运用牛顿第二定律，是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动和各质点间的相对运动。——质点模型方法的实质。

即：在质点动力学中，我们所研究的“质点”，其实就是物体的“质心”。

质心运动定理的局限性：仅给出质心加速度，未对质点系作全面描述。

三．

质点系相对于质心系的动量

1．

质心系：以质点系的质心为原点，坐标轴与基本参考系平行，这种参考系又叫质心参考系。

2．

质点系相对于质心系的动量：设mi表示质点系中各质点的质量，

表示质点系诸质点相对于质心系的速度，质点相对于质心系的动量为

，则：

而：

表示质心系中质心位置矢量，

，故：

即：质点系对质心参考系的总动量为零

角动量定理公式：

L

=

Jω，J

是转动惯量，ω（欧米伽）是角速度。

角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L

。角动量是矢量。

L=

r×p

其中，r表示质点到旋转中心（轴心）的距离（可以理解为半径），L表示角动量。p

表示动量。

角动量：角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量。角动量描述物体转动状态的量。又称动量矩。如质点的质量为m，速度为v，它关于O点的矢径为r，则质点对O点的角动量L=r×mv。角动量是矢量，它通过O

点某一轴上的投影就是质点对该轴的角动量（标量）。质点系或刚体对某点（或某轴）的角动量等于其中各质点的动量对该点(或该轴）之矩的矢量（或代数)和。

角动量的方向：角动量的方向：角动量是r（参考点到质点的距离矢量）叉乘动量，是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵循右手螺旋法，即右手四指指向r的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向。