数量积的几何意义是什么（ab向量积的几何意义）

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向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

扩展内容：

向量积性质

几何意义及其运用

叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1] 

代数规则

1.反交换律：a×b= -b×a

2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c

3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1] 

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2] 

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；

则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2] 

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；

反交换律：x×y+y×x= 0；

同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；

拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。

楼主只需弄清几个定义即可 两个向量数量积的定义是a*b=|a||b|cos@ 向量a在向量b方向上的投影是|a|cos@,向量b在向量a方向上的投影是|b|cos@ 由以上定义可知 a*b可以看成是|a|与b在a的方向上的投影的乘积 a*b也可以看成|b|与a在b的方向上的投影的乘积

那你为什么学向量呢？向量就是为了将一些东西量化，可以同时记录长度和方向，量化的主要目的就是便于计算（比如长度、两向量的角度等），而数量积就是向量的基本运算，长度和夹角都要通过数量积去计算。

设两个非零向量a与b的夹角为θ，则将|b|·cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影或称标投影（scalar projection）。

由定义可知，一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。

设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A'，作点B在直线m上的射影B'，则向量A'B' 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。

小提示

向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作。已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。

若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是|a×b|=|a||b|sin，a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

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