2021年杭州中考数学的分析

2021年杭州中考因为“简单”而引起了网络热议。那么这张卷子多简单呢？我们一起来看一看分析分析。

首先先明确一下，这张卷子的所有题目，将分为三种类型：

一、选择题部分

总的来说，选择题1-6属于送分题，分别考察相反数、科学计数法、因式分解、点到直线的距离最短、算术平方根的概念、方程思想。

其中，5对于算术平方根的理解要到位，明确算术平方根是正的平方根，如果理解出问题容易选C/D。6对于增长率的概念要理解到位，明确增长率是基于原数的增长。

选择题8-9属于中档题，分别考察概率、二次函数的图像及性质、几何综合。8-9的难度比前几年的难度都要小，甚至可以算是送分题类型。

7考概率，基础一点用树形图做绝对没问题，高阶一点就简单的乘法原理也行。

8考二次函数，明确找a的最大值，直接排除ADC、BDC的组合（a是负数）。而ABC和ABD的判断，由于图像越陡a越大（性质），直接确定ABD组合，待定系数解三元方程组不难得出答案。

9考几何综合，题目很绕（这也是这道题难的地方-翻译题目）。既然有个垂直，垂直又做了角平分线，那么 \angle DAP 就是一个45度角；画弧，显然 AB=AE ；由45度角的三角函数，易得 AE=\sqrt{2}AP ，很容易选出答案。

选择题的难题是10，但难度和前几年相比也下降了。10主要是阅读理解+入手方向的选择。首先确定题目的意思，要我们找的是存在某一个x使得其函数值的和为0的两个函数，等价于什么呢？从代数角度思考，函数值互为相反数的呗；从图像角度思考，也就是关于x轴对称。显然可见，下面四个选项函数图像很难找出其关于x轴对称点（二次和反比例函数做图总是有不精确的）。那么只能从代数角度思考，也就是函数值相反的联立（以A为例）: y=x^{2}+2x 和 -y=-x-1 （方程组不知道怎么打出来......），消去 y 显然这个方程是有解的，等价于肯定有根是符合题目的函数值互为相反数的条件的，还不用算其他三个选项，正好。。。

二、填空题部分

11-14属于送分题，分别考察三角函数值、代数式化简、切线的定义和加权平均数的计算。12题网上被喷，也算正常。14貌似是书本还是作业本原题吧（可能数据改了改），看过那道题的都应该没问题吧。

15题属于中档题，根据题意可知左边那个角显然是45度，那么右边这个角呢？连结 DE 计算三条边的边长,分别为 \sqrt{5}、\sqrt{5} 和 \sqrt{10} ，正好是 1：\sqrt{2} 的关系，确定也是45度。如果要猜这道题，大概率也是等于否则一个什么特殊度数都不是的两个角让你怎么比是吧。。。

16题属于难题，不过难度比前几年要简单很多，计算角度的问题真的没有计算线段来的难（毕竟角度好量多了）。下面提供基本思路：设 \angle DAC=x ，注意到M点中心给出来了肯定有用，把另一条对角线连起来，这样得到一个等腰三角形，由外角的性质得到 \angle DMF=2x 。由于折叠和 MF=AB ，可以得到以下四条线段相等： AB=MF=DF=CD ，那么又存在两个等腰三角形，继续由外角的性质不难得到 \angle DCF=4x ，也就是说 5x=90 ，得到答案是18度。

三、解答题部分

解答题17-20题，都属于简单题，分别考察了解不等式、频数和频率、三角形综合（全等和等腰）和一次函数和反比例函数综合。

17、18、19实际操作没啥（19好像是书本原题吧），就把答案贴出来不详述了。

20题，第一小题，①典型的点坐标代入函数表达式的思想，②是取值范围的确定（注意一开始限定条件x>0）。第二小题，可能一开始有点无厘头，但仔细注意到 k_{1}+k_{3} 受到点 A、B 的制约，而 A、B 由于对称x轴坐标互为相反数导致横纵坐标的和为0，等价于所求的 k_{1}+k_{3} ，也是送分题。

21题，本应该是一道有区分度的中档题，实质上还是送分题啊，因为这个三角形的三个角都是确定的，易得 \angle BDC=105 度，由外角的性质得到 \angle BAD=\angle BDA=75 °，从而第一小题解决。第二小题知道了高，不就直接解三角形把底边 BC 的长度解出来了，更是一道送分题。

22题，本来是一道区分前三、前八和优高学生的题目，结果出的只能把前八和优高的学生区分开，挺失败的。第一小题，待定系数法+顶点坐标公式代入，送分。

第二小题，与x轴两个不同交点？等价于方程有两个根等价于判别式大于0，更是送分。

第三小题加了些难度，不过把这个函数确定下来是降低了不少难度，既然要证函数值大于某个数，肯定要把两个函数值表示出来，告诉你自变量取了p、q直接带进去呗；得到两个式子一加得到所求的式子，注意到p、q有和为2的约束条件，而且两个变量太难看了，那么消去一个变量化为一个变量的代数式不就好了。最终化简本质回归还是一个二次函数，注意到等号取到时p、q都等于1与题意不符而等号不成立，整道题目得证。思路很连贯，对于非常清晰消元思想和化简功夫了得的人也是一道送分题。标答写的很清楚了，贴在下面：

23题，出的挺好，但难度相比前几张卷子也下降了，因为这道题除了相似和圆周角之外就没了，其他的思考量不算很大。这道题要想做好，首先得先明确一点，图里所有的线段都是变化的，而且（2）（3）所求的都是线段关系，通过线段比例整相似是不太可能的。而且题目背景是圆，角相等是很容易的（因为题和圆心无关从而一定是圆周角相等），所以一定是两个角相等来证相似。知道这个基本思路，这道题本质上也不算很难。

第一小题，直接证相似。注意到对应的两个三角形由于有一个角平分线导致一组角相等，同时由于弧AB对应的两个圆周角也在这两个三角形里，两组角对应相等相似得证，送分。

第二小题，注意到三条线段的长度都是第一小题相似的两个三角形中的边长，从所求的 FG 很容易思考到要求 AG ，通过比例关系很容易得到 AG 的长度，从而得到结果，也是送分。

第三小题，从结论的类比例式反推，很容易得到的两个要证的相似三角形 \Delta DGB 和 \Delta BGE ，其中有一个公共角 \angle G ，接下来就需要找到另外一个角证明其对应相等。注意到题给角相等很奇怪。回归到起点，角平分线导致两个绿色×角相等，容易联想到是否有第三个角与其相等，从而发现在圆中没用过的弧 CG 存在第三个绿色×角（ \angle CBG ），接下来就是非常容易的证明了。

四、总结

这张卷子，计算一下送分、中档和难题的分数：

送分：1-6+11-14+17-21+22（1）（2）+23（1）（2），92分（正负5分）。

中档：7-9+15，13分（正负2分）。

难题：16+22（3）+23（3），12分（正负5分）

给一下我理想中的一张兼顾低等考生体验感和高等考生区分度的卷子的难易分布：

送分题：1-7+11-13+17-20+21（1）+22（1）+23（1），78分

中档题：8-9+14-15+21（2）+22（2）+23（2），27分

难题：10+16+22（3）+23（3），15分

总难度系数：0.68-0.75之间，最好控制在0.70-0.72之间。

最后嘴一句这张中考卷的难度系数，估计在0.82-0.86之间。。。