8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 教学设计

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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系一、教学内容及其解析1．内容本单元的知识结构如下：本单元包括平面的基本性质（三个基本事实）及其推论和空间点、直线、平面的位置关系．整个单元共2课时，其中平面的基本性质（三个基本事实）及其推论1课时，为概念课和原理与规则课；空间点、直线、平面的位置关系1课时，为概念课．2．内容解析本单元是在初中对于点、直线已经有过研究，而对于平面，学生仅有直观感受的基础上，进一步从整体上认识空间点、直线、平面的位置关系．立体几何定性研究的重点是直线、平面之间的位置关系，研究这些位置关系，首先需要学生对点、直线、平面这些组成几何图形的基本要素有所理解，这也是整个立体几何研究的基础．本单元首先研究平面，并用三个基本事实来刻画它的“平”和“无限延展”的基本特征，掌握确定平面的基本要素．在此基础上，结合长方体，从整体上认识空间点、直线、平面之间的位置关系.本单元知识与实际联系密切，无论是对平面概念的抽象，对三个基本事实的理解，还是直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等，都可以在学生的生活世界中找到模型.在教学中，要加强学生模型意识的培养，引导学生多从生活实际出发，特别注意联系长方体模型和教室中的实例，联系实际提出问题和引入概念，让学生经历从实际背景中抽象出空间位置关系的能力.在本单元中，对于平面的概念，三个基本事实，空间点、直线、平面的位置关系等的描述都是按照“三维对象（几何模型）—图形—文字—符号”这种程序进行的.其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学工具，也是形象直观的语言．完成了三维对象到图形的飞跃，才有可能顺利进行后续内容的学习.因此加强图形的运用十分重要．从本单元开始，描述定义、定理、性质时，开始借助集合语言描述几何对象之间的关系，这对于初学立体几何的学生来说是很重要的，有利于训练学生正确地认识和描述空间的几何图形，为后续学习解决立体几何的问题奠定基础．根据上述分析，对平面三个基本事实的理解和空间直线、平面间的位置关系，是本单元的教学重点．二、教学目标及其解析1．目标（1）初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论；（2）理解空间点、直线、平面的位置关系，会用图形、文字、符号三种语言表示这些位置关系；（3）在探究平面的性质（三个基本事实）和空间点、直线、平面的位置关系的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）在直观认识的基础上，感受平面的概念；能用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论的内容；能利用三个基本事实说明平面“平”“无限延展”的基本特征；能够利用三个基本事实和推论作图、证明简单问题；（2）结合长方体模型和生活实例，能说明空间点、直线、平面的位置关系；能用图形、文字、符号三种语言表示空间点、直线、平面及位置关系；能利用某些特殊空间图形（如长方体）判断空间点、直线、平面的位置关系，从而提升直观想象和数学抽象素养；（注：这是本堂课的教学目标）（3）在探究平面的性质（三个基本事实）和空间点、直线、平面的位置关系的情境中，体会通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素特征的方法；体会从研究问题出发，通过直观感知、实验操作获得结论，再对某些结论通过说理或推理确认结论的研究立体几何问题的一般思路.发展直观想象和数学抽象的素养.三、教学问题诊断分析在本单元学习过程中，学生可能会遇到3个主要困难.第一个可能遇到的困难是对于平面的概念，其“平”“无限延展”是客观存在的，学生可能会对为什么要学习三个基本事实并用它们对平面的特征进行刻画以及三个推论不理解.教学时要注意引导学生从公理化的角度理解平面的概念和三个基本事实之间的关系：基本事实的意义就是去刻画平面这一不加定义的概念，利用基本事实，就可以用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”；一些结论（如三个推论），需要从存在唯一性的角度进行理解，教学时要注意控制难度，不要采用严格证明形式，而宜采用说理的形式进行说明，使学生循序渐进，逐步体会立体几何的证明方法.第二个可能遇到的困难是学生对于用集合的符号语言表示几何元素之间的关系以及几何命题还不习惯，无法正确用符号语言表达空间点、直线、平面的位置关系.图形语言比较直观，文字语言比较容易理解，但部分学生可能对图形表达的几何要素之间的关系不理解，导致不能正确地将图形或文字语言转化为符号语言.教学时要引导学生理解图形或文字语言所反映的几何关系的本质，逐步熟悉用符号语言进行表达.第三个可能遇到的困难是判断两条直线的位置关系是否为异面直线．部分学生空间想象能力不足或是受到视角的干扰，可能会错误地判断两条直线是否异面.教学时要遵循具体到抽象的原则，将异面直线（局部）放到长方体（整体）中来观察，借助长方体模型、教室中的实例以及信息技术工具等从不同角度引导学生发现异面直线的本质.四、教学支持条件分析在本单元的教学中，可以利用实物、模型、图片等的操作和感知，引导学生直观感知空间点、直线、平面的位置关系，帮助学生克服学习中可能遇到的困难，更好地培养学生的直观想象和数学抽象素养．在8.4.1平面的教学中，我们可以利用有关几何作图工具软件展示利用直线密铺平面的过程，体会用直线的基本特征刻画平面的基本特征的过程．在8.4.2空间点、直线、平面的教学中，我们可以利用几何作图工具制作长方体模型，观察其结构特征，观察其中的点直线平面的位置关系.我们还可以对这个模型添加一些直线和平面，还可以对它进行旋转，让它动起来，从多角度观察，从而看到从正面看不到的一些直线和平面的位置关系，进而验证和发现这些位置关系.五、教学过程设计本单元教学的基本流程如下：第1课时 平面（略）第2课时 空间点、直线、平面之间的位置关系【教学内容】空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【教学目标】（1）结合长方体模型和生活实例，能说明空间点、直线、平面的位置关系；（2）能用图形、文字、符号三种语言表示空间点、直线、平面及位置关系；（3）能利用某些特殊空间图形（如长方体）判断空间点、直线、平面的位置关系，从而提升直观想象和数学抽象素养.【教学重点】空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【教学难点】会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；判断两条直线是否为异面直线.【教学过程设计】（一）问题引入前测 （3分钟）：根据右图用符号语言表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(4)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.追问：(1)在初中我们学习了二维平面中的哪些位置关系？(2)进入高中我们研究问题将从二维平面中转化到三维空间里，观察1-4小题有何共同之处？师生活动：在前测的基础上，借助长方体模型回顾上一节平面中所了解到的一些空间点、直线、平面的位置关系，点在平面内、直线在平面内、平面和平面相交等，通过追问逐步引导学生，将这些位置关系进行整体研究．设计意图：对空间点、直线、平面的位置关系进行整体研究，由于点与直线、平面的位置关系比较简单，学生前面也已经了解，因此只在前测中简单回顾，为后续学习空间直线、平面间的位置关系做准备．（二）空间直线与直线的位置关系问题1 如下图，直线AB与DC、BC分别有什么位置关系？追问：(1)直线AB与DC、BC是否在同一个平面内？分别有几个公共点？(2)直线AB与CC1是否在同一个平面内？有几个公共点？(3)我们身边的黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？(4)旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？师生活动：教师应引导学生，结合对长方体的观察，通过直观感知、操作确认空间不重合的直线与三种位置关系，在指出相交和平行两种位置关系及其公共点个数的基础上，指出长方体中存在两条直线没有公共点，也不同在任何一个平面的情况，接着给出生活中的实例进一步加深对异面直线的理解，进而给出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．并指出空间中两条直线的位置关系有三种，异面、平行和相交.设计意图：教学中遵循具体到抽象的原则，通过用长方体模型和教室以及生活中的实例抽象概括，得到空间直线与直线的位置关系．追问：(5)这里我们学习了异面直线的概念，接下来就是学习它的表示，想一想，类似用图形和符号表示平面，我们如何用图形语言表示异面直线？师生活动：教师引导学生，画异面直线为表示不共面，常以平面衬托，否则很难画出让人一目了然的两条异面直线，教师给出画法，要求学生在笔记本上画出.追问：(6)分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？师生活动：教师帮助学生进一步理解异面直线，除正例外，还可以举出“反例”，要指出“不共面”是指这两条直线不同在任何一个平面内，而不只是“不在同一个平面内”，明确两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交也不平行.设计意图：在上一节学面的图形语言的基础上，让学生进一步发展直观想象素养.通过反例加深学生对异面直线的直观理解.（三）空间直线与平面的位置关系问题2 如下图，直线AB、AA’、A’B’与平面ABCD分别有什么位置关系？追问：(1)它们分别有几个公共点？(2)想一想生活中的实例，电线杆和地面有什么位置关系？黑板上画一条线，这条线和黑板有什么位置关系？教室里的灯管和地面有什么位置关系？(3)一支笔（看作一条直线）和一个作业本所在的平面有哪几种位置关系？分别有几个公共点？师生活动：教师引导学生在观察长方体模型的基础上，进一步通过生活实例理解空间直线与平面的位置关系，在学生直观感受的基础上，让学生用笔和作业本实际操作，观察它们可能出现的位置关系，让学生操作确认直线和平面的三种位置关系，并将这三种情况分别和直线与平面的公共点个数联系起来.于是直线和平面的位置关系可以归纳为：追问：(4)明确了空间直线与平面的位置关系后，接下来我们要想一想如何用图形语言和符号语言表示它们？师生活动：教师让学生自己动手在笔记本上完成此项活动，并选一位同学板演，强调直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内，直线在平面外，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外，其中直线与平面相交被挡住部分不画或者画虚线.设计意图：通过对模型、实物的操作和感知，按照“实物模型——图形——文字——符号”的抽象过程，引导学生归纳、概括，帮助学生认识空间直线、平面的位置关系，加强三种语言的互相转化，为后续推理证明打下基础，重视作图技能训练，培养学生空间想象力.（四）空间平面与平面的位置关系问题3:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？追问：观察教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？师生活动：教师引导学生观察，归纳两个平面之间的位置关系的区别在于它们是否有公共点.设计意图：从对长方体的观察入手，并借助教室中的实例地面、黑板等，通过直观感知、操作确认的方法进行认识.思考：1.“直线与直线、直线与平面、平面与平面之间没有公共点就平行，平行就是没有公共点”这句话对吗？为什么？2.“直线与直线、直线与平面、平面与平面”之间有2个公共点时，它们的位置关系如何？3.“如果平面与平面有三个公共点时如何 ”师生活动：教师引导学生思考，明确定义既表明了各种位置关系的本质特征，还可以用来判断是否存在相应的位置关系。设计意图：类比直线与直线、直线与平面的位置关系教学，加深学生对平面与平面位置关系的理解.（五）巩固新知探究：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，连接A’B, D’C，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系。师生活动：学生独立完成，探究其中直线、平面的位置关系，应用所学知识,教师加以指导.设计意图：通过对最初的长方体模型增加两条面的对角线，是对学习了位置关系后的应用，希望学生能够系统地整理出各种位置关系，并用符号表示.这个环节既复习所学知识，也渗透分类思想，还训练几种语言的相互转化.例1如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．追问：解决此类问题，应怎么做？师生活动：学生自主思考，独立完成，让学生板演，并针对学生存在的问题加以指导，教师引导学生明确解决此类问题，应首先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号语言表示这些位置关系，其中点作为元素，直线、平面作为集合．设计意图：通过用符号语言表示图形语言，训练学生正确认识和描述空间图形，学会图形、符号、文字三种语言的互相转化．例2如图，直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？追问：判断两直线是异面直线的方法？师生活动：在学生思考的基础上，引导学生结合初学立体几何中的推理论证，并由教师或个别学生向其他学生进行示范，说明理由，同时针对大家存在的问题加以指导，本题教科书采用说理的方式说明理由，教师可引导学生用反证法证明．教师通过追问引导学生总结判断异面直线的方法：重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，a α，B a AB与a是异面直线(如本例图)．设计意图：为了帮助学生更好地理解异面直线，例2提供了一种判断异面直线的方法，为学生后续学习异面直线打下基础．（六）课堂小结1．判定两直线的位置关系的方法：根据两直线平行、相交、异面的定义． 而判断异面直线的方法常用重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．2．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式:一是按公共点个数分类，二是按是否在平面内分类.3．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确地判断位置关系的目的．设计意图：引导学生回顾并整理本堂课学习的主要内容，同时强调学生在理解空间直线、平面位置关系中存在的问题．六、教学评价设计（一）目标检测（第2课时）1.选择题(1)如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )A 共面 B 平行C 是异面直线 D 可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a、b分别是长方体的相邻两个面对角线所在直线，则a与b( )A 平行 B 相交C 是异面直线 D 可能相交，也可能是异面直线2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面BCC1B1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．设计意图：评价学生整体对空间直线、平面位置关系的理解情况．（二）作业（第2课时）A组1.练习第3题B组2．练习第4题，3．习题8.4第1、2、3、4题C组4．习题8.4第5、9题设计意图：通过完成上述作业，推动学生巩固对空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的理解，并进一步评价每一位学生达成教学目标的情况．

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