高斯概率密度函数相乘仍然是高斯密度函数

百科： 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为 μ \mu μ、方差为 σ 2 \sigma^{2} σ2的正态分布，记为 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值 μ \mu μ决定了其位置，其标准差 σ 2 \sigma^2 σ2决定了分布的幅度。当 μ = 0 , σ = 1 \mu=0, \sigma=1 μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

假设 f ( x ) f(x) f(x) ~ N ( μ f , σ f 2 ) N(\mu_{f}, \sigma_{f} ^{2}) N(μf​,σf2​)， g ( x ) g(x) g(x)~ N ( μ g , σ g 2 ) N(\mu_{g}, \sigma_{g} ^{2}) N(μg​,σg2​)都是高斯分布 即： f ( x ) = 1 2 π σ f e − ( x − μ f ) 2 2 σ f 2 f(x) = \frac {1} {\sqrt{2\pi }\sigma_{f}}e^{\frac{-(x-\mu_{f})^{2}}{2\sigma_{f}^{2}}} f(x)=2π ​σf​1​e2σf2​−(x−μf​)2​ 和 g ( x ) = 1 2 π σ g e − ( x − μ g ) 2 2 σ g 2 g(x) = \frac {1} {\sqrt{2\pi }\sigma_{g}}e^{\frac{-(x-\mu_{g})^{2}}{2\sigma_{g}^{2}}} g(x)=2π ​σg​1​e2σg2​−(x−μg​)2​ 他们的乘积是： h ( x ) = f ( x ) g ( x ) = 1 2 π σ f σ g e − ( ( x − μ f ) 2 2 σ f 2 + ( x − μ g ) 2 2 σ g 2 ) — — — — — — — — — — ( 1 ) h(x) = f(x)g(x)=\frac {1} { {2\pi \sigma_{f}\sigma{g}}}e^{-(\frac{(x-\mu_{f})^{2}} {2\sigma_{f}^{2}} + \frac{(x-\mu_{g})^{2}} {2\sigma_{g}^{2}} )} ——————————(1) h(x)=f(x)g(x)=2πσf​σg1​e−(2σf2​(x−μf​)2​+2σg2​(x−μg​)2​)——————————(1)

现在，我们对其做进一步化简，以期得到 h ( x ) h(x) h(x) 的分布函数。

上述公式指数部分为： β = ( x − μ f ) 2 2 σ f 2 + ( x − μ g ) 2 2 σ g 2 \beta = \frac{(x-\mu_{f})^2}{2\sigma_{f}^{2}} + \frac{(x-\mu_{g})^2}{2\sigma_{g}^{2}} β=2σf