正项级数收敛判别法

2023-12-27 05:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

判断一个级数是否收敛时很重要的问题，这是因为收敛级数有着更好的代数运算性质，但发散级数就不具有这样的性质了。而在判断级数收敛问题中，最简单的要数正项级数了，而对于任意项级数来说，判断其是否绝对收敛也归结于正项级数问题，因此本页面来着重介绍正项级数的一些收敛判别法。

目录 1 基本充要条件 2 两个重要模型 2.1 p-级数 2.2 几何级数 3 比较判别法 3.1 极限形式 3.2 比值形式 3.3 局限性 4 d' Alembert 判别法 5 Cauchy 判别法 6 Gauss 判别法 7 积分判别法 8 幂平均收敛 9 其它判别法 10 上下节基本充要条件[]

我们知道，正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 中每一项都是非负的，这也就是说这个级数的部分和数列 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} 是单调递增数列。根据单调有界定理知，如果 S n {\displaystyle S_{n}} 有上界，那么这个部分和数列存在极限，从而级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 收敛。而正项级数如果发散，由于每项都是非负的，那么它一定会发散到正无穷大。

因此，正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。由这个定理，我们可以对一些可求和的级数先求部分和，再对其取极限，就可判断出它是否收敛了。但有时候对数列求和是一件很困难的事，有时根本不能用初等方法求出数列的和，因此需要找其他的判别法。从这个定理出发，可以得到下面要说的几个判别法。

两个重要模型[]

在介绍其他判别法之前，先介绍两类重要的级数的敛散性。

p-级数[]

对于级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{p}}}} ：当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时级数收敛；当 p ⩽ 1 {\displaystyle p\leqslant 1} 时级数发散。

几何级数[]

对于级数 ∑ n = 1 ∞ n α {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{\alpha }} ：当 | α | 1 {\displaystyle |\alpha |\geqslant 1} 时级数发散。

比较判别法[]

对于正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 和 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} ，如果存在 N ∈ N + {\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}} ，使当 n > N {\displaystyle n>N} 时有 u n ⩽ v n {\displaystyle u_{n}\leqslant v_{n}} ，那么

如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 收敛，那么 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 也收敛；如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 发散，那么 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 也发散。极限形式[]

不难将上面的叙述写成极限形式：对于正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 和各项非零的正项级数 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} ，如果有

lim n → ∞ u n v n = k {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dfrac {u_{n}}{v_{n}}}=k} 如果 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 收敛，且 0 ⩽ k n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 收敛；如果 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 收敛，且 0 {\displaystyle 0 u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 发散。比值形式[]

对于各项都是正数的正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 和 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} ，如果存在 N ∈ N + {\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}} ，使当 n > N {\displaystyle n>N} 时有

u n + 1 u n ⩽ v n + 1 v n {\displaystyle {\dfrac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leqslant {\dfrac {v_{n+1}}{v_{n}}}} 那么如果级数 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 收敛，那么 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 也收敛；如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 发散，那么 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 也发散。局限性[]

并不存在一个比较级数，使它可以判断任意级数的敛散性，这就是下面两个定理所揭示的：

对于一个给定的收敛的正项级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ，总存在一个收敛的正项级数 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} ，使得 lim n → ∞ a n b n = 0 ; {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0;} 对于一个给定的发散的正项级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ，总存在一个发散的正项级数 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} ，使得 lim n → ∞ b n a n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dfrac {b_{n}}{a_{n}}}=0.}

以下的两个判别法，都是和幂级数做比较得出的。

d' Alembert 判别法[]

又称比值判别法（检比法）：对于各项为正数的级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，考察

lim n → ∞ u n + 1 u n = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dfrac {u_{n+1}}{u_{n}}}=l} 如果 0 ⩽ l {\displaystyle 1 u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，考察

lim sup n → ∞ u n n = l {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=l} 如果 0 ⩽ l {\displaystyle 1 u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 和几何级数在 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时的表现，而几何级数是指数增长级别的，当它发散时通项不趋于零而是无穷大，所以对那些收敛不那么快的级数自然不适用，这是需要用另外一种级数作为比较对象，那就是 p-级数。这样就引出了 Gauss 判别法：对于各项为正数的级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，考察

u n u n + 1 = λ + μ ( 1 n ) + o ( 1 n ) {\displaystyle {\dfrac {u_{n}}{u_{n+1}}}=\lambda +\mu \left({\dfrac {1}{n}}\right)+o\left({\dfrac {1}{n}}\right)} 如果 λ > 1 {\displaystyle \lambda >1} ，级数收敛；如果 0 ⩽ λ > 1 {\displaystyle \lambda =1,\mu >1} ，级数收敛；如果 λ = 1 , μ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 有 u n = f ( n ) {\displaystyle u_{n}=f(n)} ，其中 f {\displaystyle f} 是定义在 [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle [1,+\infty )} 上的单调递减函数，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 收敛当且仅当积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x} 收敛。

幂平均收敛[]

如果正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 和 ∑ n = 1 ∞ v n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}} 都收敛，那么它们的任意幂平均都收敛。这是因为

min { u n , v n } ⩽ M p ( u n , v n ) = ( u n p + v n p 2 ) 1 p ⩽ max { u n , v n } {\displaystyle \min\{u_{n},v_{n}\}\leqslant M_{p}(u_{n},v_{n})=\left({\dfrac {u_{n}^{p}+v_{n}^{p}}{2}}\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \max\{u_{n},v_{n}\}} 由于 min { u n , v n } = u n + v n 2 − | u n − v n | 2 , max { u n , v n } = u n + v n 2 + | u n − v n | 2 {\displaystyle \min\{u_{n},v_{n}\}={\dfrac {u_{n}+v_{n}}{2}}-{\dfrac {|u_{n}-v_{n}|}{2}},\quad \max\{u_{n},v_{n}\}={\dfrac {u_{n}+v_{n}}{2}}+{\dfrac {|u_{n}-v_{n}|}{2}}} 左右两侧显然收敛，于是中间收敛。进而还可得出 ∑ n = 1 ∞ u n p + v n p p , ∀ p ∈ R ¯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{p}]{u_{n}^{p}+v_{n}^{p}}},\forall p\in {\overline {\mathbb {R} }}} 也是收敛的。其它判别法[] 比值判别法对数判别法 Sapagof 判别法 Kummer 判别法凝聚判别法 Frink 判别法 Ermakof 判别法 Lobatchevski 判别法上下节[] 上一节：数项级数下一节：任意项级数级数论（学科代码：1103430，GB/T 13745—2009）数项级数数项级数 ▪ 调和级数 ▪ 任意项级数（Leibniz 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法） ▪ 收敛级数的运算 ▪ 无穷乘积 ▪ 母函数正项级数正项级数收敛判别法：d' Alembert 判别法 ▪ Gauss 判别法 ▪ 比值判别法 ▪ 对数判别法 ▪ Sapagof 判别法 ▪ Kummer 判别法 ▪ 凝聚判别法 ▪ Frink 判别法 ▪ Ermakof 判别法 ▪ Lobatchevski 判别法函数项级数函数列 ▪ 函数项级数 ▪ 一致收敛 ▪ Bernstein 多项式 ▪ Weierstrass 逼近定理幂级数幂级数 ▪ 泰勒级数 ▪ Cauchy-Hadamard 定理 Fourier 级数离散 Fourier 变换 ▪ 快速 Fourier 变换所在位置：数学（110）→ 数学分析（11034）→ 级数论（1103430）

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