(竞赛内容)柯西乘积在考研级数中的运用

研宝们好，数学是思维的体操，我是考研数学杰哥～有研宝想利用柯西乘积的方法计算两个无穷级数相乘。比如上面这道题目，，.计算=.这用到了数学竞赛里讲的柯西乘积法。讲解这道题目如何做之前，我需要先说一下“黎曼级数定理”。

黎曼级数定理：对条件收敛的级数，仅通过改变求和次序就可以收敛到任意数。

举个例子，可以通过改变求和次序，收敛到任意数字。大家都知道,加和的次序是，可以实际上把这些数字分组或者换一换顺序，就可以让这一串数字收敛到任意你想要的结果。听着非常反常识，但这是黎曼先生已经严格证明过的定理。大家学习级数的时候，应该听很多老师说过——“加括号有助于收敛”吧。其实这就是把级数里面的数字分组求和，可能会影响级数的敛散性。

对绝对收敛的级数，不论对数字分组还是改变求和次序，总是收敛到同一个数字。

如果我们想要计算两个无穷级数的乘积，考研竞赛范围内，我们只讨论两个绝对收敛的级数相乘。这样我们可以改变求和次序，使得计算变得简单。现在我给出如下“柯西收敛定理”

如果绝对收敛，且，则绝对收敛，且收敛到。级数求和次序重排后可以得到.

这个求和看不懂的话，可以看我的视频讲解。另外如果两个级数不是从n=0开始的话，这个求和公式也会变化为如下：

回到文章开头的题，在收敛区间(-1,1)内，都是绝对收敛的。所以=======

接着，我看再看两道例题：

例题1: 请将展开为的幂级数.

解：==+===

注：收敛区间(-1,1)内，都是绝对收敛的

例题2:设求

解：===,幂级数展开好了。令,所以

注：收敛区间(-1,1)内，都是绝对收敛的

以上就是我对两个绝对收敛级数相乘使用柯西乘积简化运算的讲解。如果视频对你有帮助的话，希望给杰哥一个大大的三连支持！杰哥码字很辛苦，多谢大家了！！！！！