【高数】Abel定理，幂级数的和收敛半径，不同幂级数收敛半径的比较，缺项幂级数的解法

目录

一、收敛区间及收敛点

二、收敛半径的变化

三、借助正项级数敛散性求幂级数收敛区间

四、缺项幂级数的解法

五、小结

，现对该形式的幂级数进行如下讨论。

1. 幂级数的收敛区间，对称中心是x0，收敛半径是R。

2. 经有限次的逐项求导或积分，不改变收敛半径R和收敛去间（x0-R, x0+R），但收敛域可能改变。

即收敛区间端点处的敛散性可能会改变。

3. 由Abel定理，若x1处收敛（x1≠x0），那么满足 |x-x0||x1-x0| 时的敛散性。

若x2处发散（x1≠x0），那么对满足 |x-x0|>|x2-x0| 的任何x值，均发散。

可简单理解为，已知一个收敛点，那么其他离收敛区间的中心更近的，就绝对收敛。比发散点更远的，就发散。

这部分是不是很像正项级数的比较审敛法，是的！事实上，当我们代入两个确定的x值时，比如x1和x3，而x3更近。此时，二者都是常数项函数，我们取绝对值，研究其是否绝对收敛。那么自然就有x1的级数>x3代入后的，又因为“大级数收敛则小级数收敛”，所以这个必然就收敛。

突然发现，幂级数和正项级数存在联系，这为我们求幂级数的收敛区间提供了线索，见标题二。

《2018考研数学中幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域》：http://kaoyan.xdf.cn/201706/10687275.html

文章给出了 x^n 及 (x-x0)^n 两种形式幂级数的Abel定理，以及例题。

4. 由3推出，当某点处条件收敛时，该点必然为区间端点。反之未必！

因为收敛区间的端点，是条件收敛或发散的。

1. 幂级数的和

《关于2个幂级数和的收敛半径的说明》：https://www.docin.com/p-1179115014.html

两个幂级数相加减，收敛半径 ≥ 原来的收敛半径的较小值。

2. 幂级数之间的比较：如级数a的通项|x2-x0| 的任何x值，均发散。

4. 当某点处条件收敛时，该点必然为区间端点。反之未必！

5. 缺项幂级数的解法：