级数乘法？不，指数函数乘法(滑稽)

今天我们搞个有意思的东西，我们来探讨级数的乘法。

根据无穷级数的概念，自然能想到两个无穷级数∑an和∑bn(n是角标)相乘会得到这样一个无穷矩阵：

在对这些项进行相加的时候，有个问题，那就是如果顺序不同，那最终结果就可能不同，因为根据Riemann定理，条件收敛级数改变顺序能够收敛到任意一个数，亦可以发散。

但我们怎么可以让它就这样随便加呢，我们有一个常用的加法，叫Cauchy乘积，是按对角线相加的，即令：

且∑Cn即为两原级数乘积。倒是有点像是算行列式的那种对角线反过来的样子。

设∑an收敛于A，∑bn收敛于B，我们当然希望∑Cn=AB，但可以证明，当两个原级数都绝对收敛的时候Cn=AB且Cn也绝对收敛，当然绝对收敛的级数是可以随便排顺序的，其仍然收敛且和不变。

如果只是对于Cauchy乘积，那根据Mertens定理，只需要有一个绝对收敛就可以得到Cn=AB。

看这样一个函数项级数：

容易证明，对任何x∈R，它都是一个绝对收敛级数，将其和记作E(x)，计算乘积E(x)E(y)。(我们在计算的时候应该注意到这里的n是从零开始而不是1)

通过Cauchy乘积，能得到：

这也就意味着E(x)E(y)=E(x+y)。

现在我们需要e^x的带Lagrange余项的Maclaurin展开式：(θ=ξ/x)