| 高等数学 | 您所在的位置：网站首页 › 两个收敛级数想加必定收敛吗 › 高等数学 |
高等数学
|
搞定升学面试的收敛性问题，这一篇就够了！ 
1 数列之收敛性（见上集）
2 函数之连续性（见上集）
3 积分之收敛性（见上集）
目录4 级数之收敛性4.1 去证部分和序列收敛4.2 比较法（夹逼 做比等）4.3 Leibniz 判敛准则【常用】5 函数项级数之收敛性5.1 函数项级数的一致收敛性5.2 幂级数的收敛半径5.3 例题
4 级数之收敛性
级数收敛的定义：部分和序列 \(\{S_n=\sum_1^n a_i\}\) 收敛，即 \(\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\) 存在。
性质：
两个收敛级数逐项相加 / 相减，仍为收敛级数；
对收敛级数的项任意加括号后，所得的级数依然收敛；
去掉、加上、改变有限项后，收敛级数仍然收敛；
收敛的必要条件：\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)。
绝对收敛 / 条件收敛：
绝对收敛（ \(|a_n|\) 收敛）的级数必然收敛。
条件收敛：级数收敛，但不绝对收敛（ \(|a_n|\) 发散）。
级数收敛证明方法：
去证部分和序列收敛；
比较法（夹逼 做比等）；
Leibniz 判敛准则。
级数收敛值的求解：
利用常用函数的 Taylor 展开。
4.1 去证部分和序列收敛
方法： 单调有界原理：对正项级数（所有 \(a_n\) ≥ 0），收敛 \(\iff\) 部分和序列有上界。（负项级数也一样） Cauchy 收敛准则：收敛 \(\iff\forall\epsilon\gt0,~\exists n_0\in\mathbb N:|\sum_{n+1}^ma_j|\lt\epsilon\)。 拆项：发现 \(a_n\)（经过适当放缩）可以拆成 \(S_n-S_{n-1}\)，\(S_n\) 极限存在。例题： 若 \(a_n\gt0\)，\(S_n=\sum_1^na_i\) 发散，证明 \(\sum_1^\infty\big[a_n/S_n^2\big]\)收敛。 \(\frac{a_n}{S_n^2}\lt\frac{a_n}{S_nS_{n-1}}=\frac{a_n}{S_n(S_n-a_n)}=\frac{1}{S_n-a_n}-\frac{1}{S_n}=\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}\)。 所以 \(\sum_1^\infty\frac{a_n}{S_n^2}\lt\frac{a_1}{S_1^2}+\frac1{S_1}-\frac1{S_2}+\frac1{S_2}-\frac1{S_3}+\cdots=\frac{a_1}{S_1^2}+\frac1{S_1}\)，收敛。 证明调和级数 \(\sum_1^\infty\frac1n\) 发散。 首先，\(\sum_1^\infty\frac1n=-\ln(1+x)\bigg|_{x=-1}=-\ln0=+\infty\)，发散。 用 Cauchy 收敛准则证明：对于任意 ε、任意 n＞任意 N，设 \(S_n=\sum_1^n\frac1i\)，有 \(S_{2n}-S_n=\sum_{n+1}^{2n}\frac1i\gt\frac n{2n}=\frac12\)，所以不满足 Cauchy 收敛准则。 4.2 比较法（夹逼 做比等）方法： 夹逼： \(b_n\le a_n\le c_n\)（或仅有有限项不满足该条件），且 \(b_n~c_n\) 收敛，则 \(a_n\) 收敛。 若存在 \(|a_n|\le c_n\)（或仅有有限项不满足该条件）且 \(c_n\) 收敛，则 \(a_n\) 绝对收敛。 做比：正项级数 \(a_n~b_n\)， 若 \(\max\frac{b_n}{a_n}\lt\infty\) 且 \(a_n\) 收敛，则 \(b_n\) 收敛； 若 \(\min\frac{b_n}{a_n}\gt0\) 且 \(a_n\) 发散，则 \(b_n\) 发散。 比值 / 根值判别法【常用】：正项级数 \(a_n\)， 比值判别法：若 \(\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} |
【本文地址】
公司简介
联系我们