§2 级数的收敛与运算

§2   级数的收敛与运算

一、数项级数收敛的判别法

    1．基本概念与基本性质

    [级数的基本概念]设 ,,是一个无穷序列,符号

称为无穷级数,简称级数,记作.an称为级数的一般项.

An= a1+a2+            (n=1,)

称为级数的第n个部分和.若当n∞时，部分和序列{An}具有有穷或无穷（但有确定的正号或负号的）极限A：

A=An=

则称A为级数的和，并写成

A= a1+a2+

若级数具有有穷和，则称级数为收敛的，否则，即级数和等于±∞，或不存在，则称级数为发散的.

    [级数的基本性质]

    1°  弃去级数前面的有限项或在级数前面加进有限项，并不影响级数的收敛与发散的性质.

    2°  若级数收敛，则它的第m项后的余项的和数

am=am+1+am+2+

当m∞时趋于零.

    3°  若级数收敛，c是任一常数，则级数也收敛，并有

=c

    4°  若与都收敛，则也收敛，并有

=±

    [柯西准则]  级数收敛的充分必要条件是：对任意的ε>0，都存在正整数N=N(ε),使得当nN时，对一切正整数p，下列不等式成立：

    [级数收敛的必要条件]  级数收敛的一个必要条件是：一般项an趋于零，即an=0.

    2. 同号级数收敛判别法

    设

                            (1)

与                                                         (2)

为两个同号级数（即每一项符号相同的级数，当都是正号时，称为正项级数），这类级数的收敛判别法见下表.

名  称

条  件

级数的收敛性

收  敛

发   散

比较判别法

I

当n>N时，

0≤a­n≤b­­n

若级数(2)收敛，则级数(1)收敛

若级数(1)发散，则级数(2)发散

II

(0≤K≤+∞)

(bn≠0)

当K0时，若级数(2)发散，则级数(1)发散

III

当n>N时，

≤

(an­≠0,bn≠0)

若级数(2)收敛，则级数(1)收敛

若级数(1)发散，则级数(2)发散

IV

当n→∞时，

  an­～bn

级数(1)和(2)同时收敛

级数(1)和(2)同时发散

V

an­=O*()

当p>1时

当p≤1时

达兰贝尔判别法

an>0(n=1,2,…)=q

当q1时

柯西判别法

an­≥0(n=1,2,…)

当q1时

拉阿伯判别法

an>0(n=1,2,…)

=p

当p>1时

当p0(n=1,2,…)

其中有界：

≤L,>0

当λ>1时，或者当λ=1，而μ>1时

当λ0(n=1,2,…)

设

当n>N()，

>0时，

当n≥N()，

>0时，

    3. 变号级数收敛判别法

    [级数的绝对收敛性]  若级数

                                     (3)

收敛，则变号级数（即正负项可以任意出现的级数）

                                       (4)

也收敛，并称级数（4）为绝对收敛.

若级数（4）收敛，而级数（3）发散，则称（4）为条件收敛（非绝对收敛）.

要确定级数的绝对收敛性，只须把上面关于同号级数的收敛判别法应用到正项级数上去.但对发散性判别法必须当心，虽然级数是发散的，级数也仍然可以收敛（非绝对收敛），仅仅柯西判别法与达兰贝尔判别法是例外.

绝对收敛级数的和等于级数的所有正项组成的级数的和减去级数所有负项的绝对值组成的级数的和.

    [黎曼定理]  设为条件收敛级数，若适当的变更项的次序，则可收敛于任一给定的数（有限或无限）.

    [达兰贝尔判别法]  若变号级数满足条件

=l

则当l1时，发散.

    [莱布尼茨判别法]    若交错级数

满足条件：（i）cn≥cn+1(n=1,2,…),(ii) cn=0,则该级数收敛（一般说来，非绝对收敛）.对于级数的余项

有以下估计：

而且余项的符号与其第一项的符号相同，其绝对值比第一项绝对值小.

    [狄利克莱判别法]  若部分和An=有界，且当n时，bn单调地趋于零，则级数收敛.

    [阿贝耳判别法]  若级数收敛，且数bn(n=1,2,…)构成一单调有界序列：

|bn|≤K   (n=1,2,…)

则级数收敛.

二、函数项级数收敛的判别法

    1. 收敛与一致收敛

[收敛与收敛区域]  设un(x)(n=)都是定义在某区间[a,b]上的函数，则称

为定义在[a,b]上的函数项级数.若对区间[a,b]上的每点的部分和

Sn(x)=

当n→∞时，都有极限S(x)，即

Sn(x)= =S(x)

则称函数项级数在区间[a,b]上是收敛的，函数S(x)是它的和，区间[a,b]是收敛区域.函数

rn(x)=

称为余项.显然在收敛区域上的每点x，都有

rn(x)=0

也就是说，对任意给定的ε>0与收敛区域[a,b]上的每点x，都存在一个自然数N(ε,x)(N的大小不但与给定的正数ε有关，而且与x的数值有关)，使得当n≥N时，都有

|rn(x)|