不定积分和定积分换元积分中换元函数单调性问题的证明和讨论

有同学在评论区回复了我大概是这样一个问题：

在这里，核心的问题在于换元的时候使用的换元函数是否要单调，若不单调，问题中所谓的这个范围不对应的问题怎么解释？而且为什么有的同学会有一种印象，这里换元的函数需要具备单调性？

关于换元积分法中换元函数单调性的问题，我们就展开来讨论一下。

首先回答下“为什么同学们会有一种印象这里的换元函数需要具备单调性”的问题（当然很多学校不讲过程不讲证明，只讲做题的话，你连这种印象都不会有，这很正常）

简单总结下就是在不定积分中，换元积分的换元函数需要具备单调性；在定积分的换元积分里是不需要具备单调性的（个人观点）。这是大家需要记住的一点，当然为什么这个部分上课的时候可以不讲，因为我们教大家的所有的换元都是单调的，自然就忽略了这个部分的内容。

在同济的教材上，我们对于不定积分和定积分的换元积分的条件和公式是有说明和推导的，我们来看下书本上的证明：

1、不定积分的积分换元法（高等数学同济第七版上册P200-P201）

那么有的同学会发现书中其实提到了替换的时候x=Ψ(t)是强调了单调和可导这两个性质的。可导比较容易理解，因为替换的时候x的位置用函数替代进去时，需要求微分，可导的作用就体现出来了。

但细心的同学发现了，在证明的过程中并没有出现单调性体现在何处。其实这里非常容易理解，大家思考，在换元积分换元之后，我们说算完微分整理被积表达式之后，我们就可以计算不定积分了，但是算完以后题目让我们求的是关于x的原函数，并不是求t的原函数，因此这个时候都会强调大家，不定积分的换元积分在最后要回代。即我得到了F(t)，利用x=Ψ(t)，计算t=Ψ-1­(x)（反函数，-1次方不好打，见谅），然后再回代入F(t)，最终得到一个和x有关的函数。那么你思考一下，如果函数不是单调的，那么算反函数的过程中是不是就会出现多值函数（一个x对应两个y的函数），由于我们说求原函数的结果虽然不唯一，但是原函数之间只相差一个任意常数C，而多值函数的出现，必然会让这个原函数的结果在回代时出现问题，至少是分类讨论原函数的结果，这就出问题了！

所以我们为了保证反函数存在且可导，就设定了x=Ψ(t)需要单调的性质。

如果上面这样的描述不足以使你理解，很多同学也想到了有的函数并非单调，我也在换呀~那么我们就举个例子给大家看。

这里替换很简单，很多同学都认为是第二类换元法，且是我们强调要记住的三角换元，因此，直接x=sin(t)进行替换。那么很多同学反应过来了，不对啊！sin(x)不是一个单调函数啊，没错，所以我们设定一个范围-π/2