节12.9 二阶常系数齐次线性微分方程

§12.9  二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式

方程

                                  Œ

其中是常数，称之为二阶常系数齐次线性方程；

如果不全为常数， 则称它为二阶变系数齐次线性微分方程。

二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解

由第八节的讨论可知，要找微分方程Œ的通解，可先求出它的两个解与，如果，即与线性无关，那未  就是方程的通解。

对于指数函数，若它是方程Œ的解，则有

由于，从而有

                                      

由此可见，只要满足代数方程，函数就是微分方程Œ的解。我们把此代数方程叫做微分方程Œ的特征方程。

特征方程的两个根，可用公式

求出，它们有三种不同的情形：

(1)、当时，是两个不相等的实根：

(2)、当时，是两个相等的实根：

(3)、当时，是一对共轭复根：

其中 

相应地，微分方程Œ的通解也就有三种不同的情形，现分别讨论如下：

(1)、特征方程有两个不相等的实根：

由上面的讨论知道，与均是微分方程的两个解，并且不是常数，因此微分方程Œ的通解为

(2)、特征方程有两个相等的实根：

这时，我们只得到微分方程Œ的一个解 ，为了得到方程的通解，我们还需另求一个解，并且要求 。

设  ，即 ，下面来求。

相加，得 

约去，整理得

由于是特征方程的二重根，因此

于是， 

因只要得到一个不为常数的解，可取，由此得到微分方程的另一个解

从而得到微分方程Œ的通解为

(3)、特征方程有一对共轭复根：

是微分方程Œ的两个解，根据齐次方程解的叠加原理， 有

也是微分方程Œ的解，且

所以，微分方程Œ的通解为

综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程

                                  Œ

的通解的步骤如下

第一步  写出微分方程Œ的特征方程

                                       

第二步  求出特征方程的两个根。

第三步  据特征方程的两个根的不同情形， 依下表写出微分方程的通解。

特征方程的两个根

微分方程  的通解

两个不相等的实根  

两个相等的实根   

一对共轭复根  

【例1】求微分方程  的通解。

 解：所给微分方程的特征方程为

其根为

因此所求通解为 

【例2】求微分方程的通解。

解：所给方程的特征方程为

其根为 

因此所求通解为

三、阶常系数齐次线性微分方程

阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

              Ž

其中都是常数。

令

那未 

将代入方程， 得

可见，如果选取是次代数方程

              

的根，那么函数就是方程Ž的一个解。

方程叫做微分方程Ž的特征方程。

根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下

特 征 方 程 的 根

微 分 方 程 通 解 中 对 应 的 项

(1) 单实根

给出一项：

(2) 一对单复根

给出两项：

(3) 重实根

给出项：

(4) 一对重共轭复根

给出项：  

从代数学知道，次特征方程有个根，且每一个根都对应着通解中的一项，而每项中又各含一个任意常数，这样就得到了阶常系数齐次线性微分方程的通解。

【例3】求微分方程的通解。

解：特征方程 

其特征根为  (二重)，

故微分方程的通解为

【例4】求微分方程  的通解。

解：特征方程为 

特征根为  ，

故方程的通解为