3.4.1.2 相似三角形判定定理1 同步练习（含答案）

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3.4　相似三角形的判定与性质3.4.1　相似三角形的判定第2课时 相似三角形判定定理1一、选择题1.下列各组图形中可能不相似的是(　　)A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形2.下面一定相似的一组三角形为(　　)A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰直角三角形 D．以上都不对3.下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是(　　)A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角4.如图，在△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第4题图 第5题图 第6题图 第7题图5.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是(　　)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)A．1对 B．2对 C．3对 D．0对7.如图,E为矩形ABCD边CD的延长线上一点,BE交AD于点G,AF⊥BE于点F,则图中与△EDG相似的三角形共有(　　)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.如图,下列条件中,不能判定△ACD∽△ABC的是(　　)A.∠ADC=∠ACB B.∠B=∠ACD C.∠ACD=∠BCD D.∠BDC=180°-∠ACB第8题图 第9题图 第10题图 第11题图9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(　　)A．2 B．3 C．4 D．510.【2021·石家庄41中校级月考】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列说法中：①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB.正确的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．411.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，那么下列结论中错误的是(　　)A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE12.【中考·赤峰】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13.两角分别________的两个三角形相似；一个锐角________的两个直角三角形相似．14.如图所示的三角形中，x＝________．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图15.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为________．16.【2020·乐山改编】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则DF的长度是________．17.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上.若△EFC和△ABC相似,则AD的长为 　. 中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)三、解答题19.如图，AD，BE是钝角三角形ABC的边BC，AC上的高，求证：＝.20.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，AB＝8，求BD的长．21.【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．22.【2021·滁州定远县期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.(1)求证：BC2＝AB·DB；(2)若AD＝6，BD＝4，求CD的长．23.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在BC边的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DE⊥BE.(2)如果OE⊥CD,求证:BD·CE=CD·DE.24.在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图①，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；(2)M为CP的中点，AC＝2.①如图②，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图③，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．参考答案一、选择题1.下列各组图形中可能不相似的是(　A　)A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形2.下面一定相似的一组三角形为(　C　)A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰直角三角形 D．以上都不对3.下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是(　C　)A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角4.如图，在△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形有(　B　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第4题图 第5题图 第6题图 第7题图5.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是(　C　)A.＝ B.＝ C.＝ D.＝6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　C　)A．1对 B．2对 C．3对 D．0对【点拨】△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.7.如图,E为矩形ABCD边CD的延长线上一点,BE交AD于点G,AF⊥BE于点F,则图中与△EDG相似的三角形共有(　C　)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个8.如图,下列条件中,不能判定△ACD∽△ABC的是(　C　)A.∠ADC=∠ACB B.∠B=∠ACD C.∠ACD=∠BCD D.∠BDC=180°-∠ACB第8题图 第9题图 第10题图 第11题图9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(　B　)A．2 B．3 C．4 D．5【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠F＝90°＝∠B，∴△AFD∽△EBA.∴＝，即＝.∴AE＝5.∵AD＝10，DF＝6，∴AF＝＝8.∴EF＝AF－AE＝8－5＝3.10.【2021·石家庄41中校级月考】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列说法中：①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB.正确的个数是(　C　)A．1 B．2 C．3 D．411.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，那么下列结论中错误的是(　A　)A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE12.【中考·赤峰】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是(　C　)A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得AE＝3.二、填空题13.两角分别________的两个三角形相似；一个锐角________的两个直角三角形相似．【答案】相等 相等14.如图所示的三角形中，x＝________．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图【答案】215.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为________．【点拨】在△ACD和△ABC中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB＝2×(2＋4)＝12，∴AC＝2.【答案】216.【2020·乐山改编】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则DF的长度是________．【答案】17.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．【错解】2【诊断】根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论思想．有两种可能：(1)△AEF∽△ABC，(2)△AEF∽△ACB.【答案】2或4.518.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上.若△EFC和△ABC相似,则AD的长为 　. 【答案】　【提示】若△EFC与△ABC相似,分两种情况:①若△CEF∽△CBA,则EF∥AB.连接CD,由折叠得CD⊥EF,∴CD⊥AB.由勾股定理得AB=5,∴CD=.在Rt△ADC中,AD=.②若△CEF∽△CAB,则∠CEF=∠A.由折叠得CD⊥EF,∴∠CEF+∠DCE=90°,又∠DCE+∠DCA=90°,∴∠CEF=∠DCA=∠A,∴AD=CD,∴在Rt△ABC中,D为AB的中点,∴AD=AB=.三、解答题19.如图，AD，BE是钝角三角形ABC的边BC，AC上的高，求证：＝.证明：∵AD，BE是钝角三角形ABC的边BC，AC上的高，∴∠D＝∠E＝90°.又∵∠DCA＝∠ECB，∴△DAC∽△EBC.∴＝.20.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝2，AB＝8，求BD的长．解：∵C是线段BD的中点，∴设BC＝CD＝x.∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ECD＋∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴＝，∴＝，∴x＝4或x＝－4(舍去)，经检验：x＝4是原方程的解．∴BD＝2×4＝8.21.【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：△ABE∽△DFA；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.∴∠B＝∠DFA，∴△ABE∽△DFA.(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．解：∵△ABE∽△DFA，∴＝.∵BC＝4，E是BC的中点，∴BE＝BC＝×4＝2.∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝2 .又∵AD＝BC＝4，∴＝，∴DF＝.22.【2021·滁州定远县期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.(1)求证：BC2＝AB·DB；证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB.又∵∠B＝∠B，∴ △ACB∽△CDB.∴＝，∴BC2＝AB·DB.(2)若AD＝6，BD＝4，求CD的长．解：∵AD＝6，BD＝4，∴AB＝AD＋DB＝10.∴BC2＝AB·DB＝40.在Rt△CDB中，由勾股定理，可得CD＝＝＝2 .23.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在BC边的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DE⊥BE.(2)如果OE⊥CD,求证:BD·CE=CD·DE.证明:(1)∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE.在△BED中,∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180°,∴∠OEB+∠OED=90°,即∠BED=90°,∴DE⊥BE.(2)设OE交CD于点H,∵OE⊥CD,∴∠CHE=90°,∴∠CEH+∠HCE=90°.∵∠CED=90°,∴∠CDE+∠DCE=90°,∴∠CDE=∠CEH.∵∠OEB=∠OBE,∴∠OBE=∠CDE.在△CED与△DEB中,∴△CED∽△DEB,∴,即BD·CE=CD·DE.24.在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图①，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；证明：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC.∴＝.∴AC2＝AP·AB.(2)M为CP的中点，AC＝2.①如图②，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；解：作CQ∥BM交AB的延长线于点Q.∴∠PBM＝∠AQC.∵∠PBM＝∠ACP，∴∠ACP＝∠AQC.又∵∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ.∴＝.∴AC2＝AP·AQ.∵M为PC的中点，BM∥CQ，∴＝＝.设BP＝x，则PQ＝2x，BQ＝x，∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)．∴BP＝.②如图③，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．解：BP＝－1.

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