三角函数和差公式的推导 | 您所在的位置:网站首页 › 三角函数的和角公式和差角公式的区别 › 三角函数和差公式的推导 |
高中知识忘的差不多了,前段时间重新推导了和差化积的公式,这里做下记录 0X01 三角函数公式推导两角和的公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角的公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角之公式: sin4A=-4*(cosAsinA(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4tanA-4tanA3)/(1-6*tanA2+tanA^4) 五倍将式: sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10tanA2+tanA4)/(1-10tanA2+5*tanA4) 六倍将式: sin6A=2*(cosAsinA(2sinA+1)(2sinA-1)(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2cosA2)*(16*cosA4-16cosA^2+1)) tan6A=(-6tanA+20tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA^6) 七倍将式: sin7A=-(sinA*(56sinA2-112*sinA4-7+64sinA^6)) cos7A=(cosA*(56cosA2-112*cosA4+64cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35tanA4+7*tanA6) 八倍将式: sin8A=-8*(cosAsinA(2sinA2-1)*(-8*sinA2+8sinA^4+1)) cos8A=1+(160cosA4-256*cosA6+128cosA8-32*cosA2) tan8A=-8tanA(-1+7tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70tanA4-28*tanA6+tanA^8) 九倍将式: sin9A=(sinA*(-3+4sinA2)*(64*sinA6-96sinA4+36*sinA2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4cosA2)*(64*cosA6-96cosA4+36*cosA2-3)) tan9A=tanA*(9-84tanA2+126*tanA4-36tanA6+tanA8)/(1-36tanA2+126*tanA4-84tanA6+9*tanA8) 十倍将式: sin10A=2*(cosAsinA(4sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2sinA-1)(-20sinA2+5+16*sinA4)) cos10A=((-1+2cosA2)*(256*cosA8-512cosA6+304*cosA4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2tanA(5-60tanA2+126*tanA4-60tanA6+5*tanA8)/(-1+45tanA2-210*tanA4+210tanA6-45*tanA8+tanA^10) ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半将式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=(n(n+1)/2)2 12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 0X02 sin( α \alpha α+ β \beta β)推导参考文章 三角函数和差公式的推导 三角函数公式 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 |