高等数学笔记：定积分相关公式

∫ − a a f ( x ) d x = { 0 f ( x )  为奇函数  2 ∫ 0 a f ( x ) d x f ( x )  为偶函数  \int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x) \text { 为奇函数 } \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) d x & f(x) \text { 为偶函数 }\end{array}\right. ∫−aa​f(x)dx={02∫0a​f(x)dx​f(x) 为奇函数 f(x) 为偶函数 ​

从几何上考虑

💝💝💝：要记住会默写

✍✍✍：会推导不要背 💝 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x 💝 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x = 2 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x 💝 ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x 💝 ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x 💝 ∫ 0 π 2 x ( f ( sin ⁡ x ) + f ( cos ⁡ x ) ) d x = π 2 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x ✍ ∫ sin ⁡ n x d x = − cos ⁡ x sin ⁡ n − 1 x n + n − 1 n ∫ sin ⁡ n − 2 x d x ✍ ∫ cos ⁡ n x d x = sin ⁡ x cos ⁡ n − 1 x n + n − 1 n ∫ cos ⁡ n − 2 x d x ✍ ∫ tan ⁡ n x d x = tan ⁡ n − 1 x n − 1 − ∫ tan ⁡ n − 2 x d x ✍ ∫ d x a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = 1 a 2 + b 2 ln ⁡ ∣ tan ⁡ x + arctan ⁡ b a 2 ∣ + C \begin{aligned} & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x(f(\sin x)+f(\cos x)) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & ✍\int \sin ^{n} x d x=-\frac{\cos x \sin ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x \\ & ✍\int \cos ^{n} x d x=\frac{\sin x \cos ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \tan ^{n} x d x=\frac{\tan ^{n-1} x}{n-1}-\int \tan ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \ln \left|\tan \frac{x+\arctan \frac{b}{a}}{2}\right|+C \end{aligned} ​💝∫02π​​f(sinx)dx=∫02π​​f(cosx)dx💝∫0π​f(sinx)dx=2∫02π​​f(sinx)dx💝∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx💝∫0π​xf(sinx)dx=π∫02π​​f(sinx)dx💝∫02π​​x(f(sinx)+f(cosx))dx=2π​∫02π​​f(sinx)dx✍∫sinnxdx=−ncosxsinn−1x​+nn−1​∫sinn−2xdx✍∫cosnxdx=nsinxcosn−1x​+nn−1​∫cosn−2xdx✍∫tannxdx=n−1tann−1x​−∫tann−2xdx✍∫asinx+bcosxdx​=a2+b2 ​1​ln∣∣∣∣∣​tan2x+arctanab​​∣∣∣∣∣​+C​

华理士公式（点火公式） ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! H   { ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 奇 数 ， 点 火 失 败 ， H 取 1 ( n − 1 ) ! ! n ! ! ⋅ π 2 n 为 偶 数 ， 点 火 成 功 ， H 取 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = { ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 奇 数 ( n − 1 ) ! ! n ! ! ⋅ π 2 n 为 偶 数 \begin{aligned} & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x= \frac{(n-1) ! !}{n ! !} H\ \left\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1) ! !}{n ! !} & n 为奇数，点火失败，H取1 \\ \frac{(n-1) ! !}{n ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n 为偶数，点火成功，H取\frac{\pi}{2} \end{array}\right.\\ & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1) ! !}{n ! !} & n 为奇数 \\ \frac{(n-1) ! !}{n ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n 为偶数\end{array}\right. \end{aligned} ​∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx=n!!(n−1)!!​H {n!!(n−1)!!​n!!(n−1)!!​⋅2π​​n为奇数，点火失败，H取1n为偶数，点火成功，H取2π​​∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx={n!!(n−1)!!​n!!(n−1)!!​⋅2π​​n为奇数n为偶数​​

∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x = ∫ − T / 2 T / 2 f ( x ) d x \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x=\int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) d x ∫aa+T​f(x)dx=∫0T​f(x)dx=∫−T/2T/2​f(x)dx

( ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ) 2 ⩽ ∫ a b f 2 ( x ) d x ∫ a b g 2 ( x ) d x \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x (∫ab​f(x)g(x)dx)2⩽∫ab​f2(x)dx∫ab​g2(x)dx