计算机图形学14：三维图形的投影变换

2024-01-17 13:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

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作者：非妃是公主专栏：《计算机图形学》博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666 个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩在这里插入图片描述

文章目录专栏推荐专栏系列文章序一、三维图形的投影变换二、平行投影1. 正投影Ⅰ. 三视图① 主视图② 俯视图③ 侧视图④ 三视图效果展示 Ⅱ. 正轴测图 2. 斜投影Ⅰ. 斜等测图Ⅱ. 斜二侧图三、透视投影1. 一点透视四、三维观察基本流程the end……

专栏推荐专栏名称专栏地址软件工程专栏——软件工程计算机图形学专栏——计算机图形学操作系统专栏——操作系统软件测试专栏——软件测试机器学习专栏——机器学习数据库专栏——数据库算法专栏——算法专栏系列文章文章名称文章地址直线生成算法(DDA算法)计算机图形学01——DDA算法中点BH算法绘制直线计算机图形学02——中点BH算法改进的中点BH算法计算机图形学03——改进的中点BH算法中点Bresenham画椭圆计算机图形学04——中点BH绘制椭圆中点BH算法绘制任意斜率直线计算机图形学05——中点BH算法绘制任意斜率的直线中点Bresenham画圆计算机图形学06——中点BH算法画圆有效边表法的多边形扫描转换计算机图形学07——有效边表法绘制填充多边形中点BH算法绘制抛物线 100 x = y 2 100x = y^2 100x=y2计算机图形学08——中点BH绘制抛物线二维观察之点的裁剪计算机图形学09——二维观察之点裁剪二维观察之线的裁剪计算机图形学10——二维观察之线裁剪二维观察之多边形的裁剪计算机图形学11——二维观察之多边形裁剪二维图形的几何变换计算机图形学12——二维图形几何变换三维图形的几何变换计算机图形学13——三维图形几何变换三维图形的投影变换计算机图形学14——三维图形投影变换序

计算机图形学（英语：computer graphics，缩写为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形，事实上同时包括了二维图形以及影像处理。

一、三维图形的投影变换

三维图形的投影变换可分为两类：平行投影和透视投影。

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二、平行投影

平行投影可分为两类：正投影和斜投影。

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1. 正投影

其中正投影中又可以分为：三视图和正轴测图。

Ⅰ. 三视图 ① 主视图

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主视图是逆着y轴方向去看，所以y轴的坐标为0，进而变化矩阵如下：

T z o x = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{zox}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Tzox= 1000000000100001

由于主视图已经落在了xoz平面上，所以不需要其它操作。代码实现如下：

/// /// 将点转化为其次坐标 /// /// 点 /// 齐次坐标 Matrix vertex3D2qici(VERTEX3D vertex3D) { Matrix qiciVertex(4, 1); qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x; qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y; qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z; qiciVertex.matrix[3][0] = 1; return qiciVertex; } VERTEX3D qici2vertex3D(Matrix qici) { VERTEX3D res; res.x = qici.matrix[0][0]; res.y = qici.matrix[1][0]; res.z = qici.matrix[2][0]; return res; } VERTEX3D mainViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) { Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); Matrix transform; // 去掉y坐标变换矩阵 transform.matrix[0][0] = 1; transform.matrix[1][1] = 0; transform.matrix[2][2] = 1; transform.matrix[3][3] = 1; Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex); VERTEX3D res = qici2vertex3D(qicires); return res; } ② 俯视图

俯视图逆着z轴的方向来看，因此需要将z轴上的坐标置为0，第一步变换矩阵如下：

T x o y = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] T_{xoy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Txoy= 1000010000000001

同时由于最终要是的三个视图落在一个平面内(xoz平面)，因此还需要对视图进行旋转，使得俯视图绕着x轴旋转-90度，第二度变换矩阵如下：

T R x = [ 1 0 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 ] T_{Rx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TRx= 10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001 = 100000−1001000001 此处 θ = − 9 0 ∘ \theta=-90^{\circ} θ=−90∘

最后还要将主视图和俯视图分开，保持一定间距，还要让俯视图向下平移一个单位向量 − z 0 -z_0 −z0。

T T z = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − z 0 0 0 0 1 ] T_{Tz}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TTz= 10000100001000−z01

所以总变换矩阵如下：

p ′ = T T z ⋅ T R x ⋅ T x o y ⋅ p p'=T_{Tz}\cdot T_{Rx}\cdot T_{xoy}\cdot p p′=TTz⋅TRx⋅Txoy⋅p

VERTEX3D topViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) { Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); Matrix transform1; // 去掉z坐标变换矩阵 transform1.matrix[0][0] = 1; transform1.matrix[1][1] = 1; transform1.matrix[2][2] = 0; transform1.matrix[3][3] = 1; Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉z坐标 VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp); tmp = rotationForXTransform3D(tmp, -90); // 沿x轴旋转90度 tmp = transTransform3D(tmp, 0, 0, -100); // 向下平移-1个单位 return tmp; } ③ 侧视图

侧视图为逆着x轴看，所以要将x方向的坐标置为0：

T y o z = [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{yoz}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} Tyoz= 0000010000100001

同理，为了与主视图画在一个平面内，使侧视面绕z轴旋转 9 0 ∘ 90^{\circ} 90∘，如下：

T R x = [ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] = [ 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{Rx}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TRx= cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001 = 0100−100000100001 然后与主视图有一定间距，向x轴负方向平移 − x 0 -x_0 −x0，如下： T T x = [ 1 0 0 − x 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] T_{Tx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} TTx= 100001000010−x0001

所以总变换矩阵如下：

p ′ = T T x ⋅ T R z ⋅ T y o z ⋅ p p'=T_{Tx}\cdot T_{Rz}\cdot T_{yoz}\cdot p p′=TTx⋅TRz⋅Tyoz⋅p

实现代码如下：

VERTEX3D sideViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) { Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); Matrix transform1; // 去掉x坐标变换矩阵 transform1.matrix[0][0] = 0; transform1.matrix[1][1] = 1; transform1.matrix[2][2] = 1; transform1.matrix[3][3] = 1; Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉x坐标 VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp); tmp = rotationForZTransform3D(tmp, 90); // 沿x轴旋转90度 tmp = transTransform3D(tmp, -100, 0, 0); // 向x负方向平移-1个单位 return tmp; } ④ 三视图效果展示

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测试效果代码：

void testThreeView() { VERTEX3D vertex3D_1 = { 100,100,100 }; VERTEX3D vertex3D_2 = { 0,100,0 }; VERTEX3D vertex3D_3 = { 200,100,0 }; VERTEX3D vertex3D_4 = { 200,0,0 }; // 主视图 VERTEX3D res1 = mainViewTransform3D(vertex3D_1); VERTEX3D res2 = mainViewTransform3D(vertex3D_2); VERTEX3D res3 = mainViewTransform3D(vertex3D_3); VERTEX3D res4 = mainViewTransform3D(vertex3D_4); glBegin(GL_LINES); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glEnd(); // 上视图 res1 = topViewTransform3D(vertex3D_1); res2 = topViewTransform3D(vertex3D_2); res3 = topViewTransform3D(vertex3D_3); res4 = topViewTransform3D(vertex3D_4); glBegin(GL_LINES); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glEnd(); // 侧视图 res1 = sideViewTransform3D(vertex3D_1); res2 = sideViewTransform3D(vertex3D_2); res3 = sideViewTransform3D(vertex3D_3); res4 = sideViewTransform3D(vertex3D_4); glBegin(GL_LINES); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res1.x, res1.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res2.x, res2.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glVertex2f(-res3.x, res3.z); glVertex2f(-res4.x, res4.z); glEnd(); cout glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f); //设置窗口背景颜色为白色 glMatrixMode(GL_PROJECTION); //设置投影参数 gluOrtho2D(-400.0, 400.0, -300, 300.0); // 投影面上的模型坐标范围 } int main(int argc, char* argv[]) { //testTransTransform(); //testScaleTransform3D(); //testSymmetryForXTransform3D(); //testSymmetryForYTransform3D(); //testSymmetryForZTransform3D(); //testSymmetryForXOYTransform3D(); //testSymmetryForYOZTransform3D(); //testSymmetryForZOXTransform3D(); //testMiscutTransform3D(); //testRotationForXTransform3D(); //testRotationForYTransform3D(); //testRotationForZTransform3D(); //testThreeView(); glutInit(&argc, argv); // glut初始化 glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);//初始窗口显示模式 glutInitWindowSize(800, 600); //设置窗口的尺寸 glutInitWindowPosition(200, 200); //设置窗口的位置 glutCreateWindow("基本图形生成"); //创建一个窗口 glutDisplayFunc(Display); //设置当前窗口的显示回调函数 Initial(); //完成窗口初始化 glutMainLoop(); //启动主GLUT事件处理循环 return 0; }

其中旋转函数的定义，见专栏中文章（计算机图形学：三维图形的几何变换），其中有关于用到的几何变换函数的详细定义。

Ⅱ. 正轴测图

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