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根据积分区域的对称情况 和 被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论。
其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 。 二重积分:对于重积分 a. 积分区域关于y轴对称,
证明(方法1):设 相应地, 则 从而 证明:(方法2)
而 于是,
b. 积分区域关于x轴对称时,有类似的结论。关于y的奇函数时积分为零;关于y的偶函数时,积分等于半区域积分的2倍 。 c.三重积分情形:配合被积函数的奇偶性:(三重积分的物理含义:不均匀的空间物体的质量) (1)积分区域关于 若 (2)积分区域关于 若 积分是半平面积分的2倍 事实上按照 先1后2的做作法,定积分有对称的取值区间,而这时被积函数是关于z的奇函数,故积分为零; 当时偶函数的时候,定积分是半区域的2倍,而二重积分的积分区域 因此这是三重积分是半空间区域内积分的2倍 。 二、积分区域关于坐标原点对称: 若 若
TIP:可以根据二重积分的集合意义直观分析得出;若是关于x,y 的奇函数的时候,在对称区域上的微小体的体积总是互为相反数。因此总和为零。 有一个正的体积就有一个负的体积。 三重积分情形:没有相关规律。 三、(二重)积分区域D关于y=x对称 (轮换对称性 ) (a)积分变量x,y 互换,不改变积分的值。 这是因为,当互换变量时,点还是在原来的积分区域内,积分区域没有发生变化。积分值不变:可以用元素法来分析,若在D1取一小块体积,则交换积分变量,可以在对称的区域上取得一块同样的体积,因此,总的体积没有发生变化。 因此,积分制不会发生改变 。 (b)配合奇偶性有: 若 (即是,如果积分区域关于y=x对称(x和y有相同的地位),且在对称点处的函数值大小相等符号相反则积分为零) 这是因为吧积分区域以 y=x 划分成两块区域 由于交换函数自变量 若 若 三重积分下的轮换对称性, 若积分区域
,由于x和y 的等价性,结合二重积分的对称性可知,积分不会发生变化,即是 若积分区域 若积分区域 事实上,按先二后一的做法,由于二重积分不会发生改变,因此,三重积分不会发生改变。 若,x,y,z 三个变量在积分区域上是等价的,即是互换位置的时候,积分不会发生变化 ,如: 任意改变积分变量的位置,积分不会发生变化。 |
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