理论证明：折纸法解决七等分圆

       新视频更了哦（半年前），大家看了嘛？       首先在此为鸽了这么久向大家表示道歉（毫无悔意），其次我们就直入主题吧。

       这次我要来水一水视频里的七等分圆究竟是怎么做到的，就用数学方法来证明一下吧：       看过李永乐老师关于尺规作图那期视频的同学应该知道如何把等分圆的几何问题转化成解方程的代数问题的吧？我这次就来借用一下这个思路：       将单位圆七等分→找到七个顶点→x⁷=1的七个复数解

        接下来，由优美的欧拉恒等式：

        得：

        由上式，可推得：

        现在，我们设：

        由此，可计算出如下三式：

        接下来，我们就可以由上三式并依据韦达定理得出，x1，x2，x3为下面这个三次方程的根：

       现在，我们可以得知，这个三次方程的三个根无法用有理数通过简单的“加，减，乘，除，平方根”计算出来，从而，我们的七等分圆是不可能用尺规作图完成的，因为这三个根，恰好就是：

       好了，尺规作图无法七等分圆证毕，咱们今天就水到这……我好像，又跑偏了？对哦，接下来才是正片(ಡωಡ) 

       尺规作图做不了的，独独一张纸能完成吗？直觉上好像不行，但现实就是这么魔幻，在除去我们在平面几何上十分依赖的两大工具后，我们能干的事情反而变多了，如下是七种基础的折纸步骤（又称Huzita-Hatori公理）：        一、已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕

      二、已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去

      三、已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去

      四、已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上

      五、已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上

      六、已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上

      七、已知点 A 和 a 、 b 两直线，可以沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上

       不过，仅仅知道了这七步折纸法则好像并没有什么说服力表示其比尺规作图要厉害一些，那么，我就举个实例吧：

       三等分任意角：

      这可是三大几何作图难题之一哦，另外两个分别是“化圆为方”与“倍立方”问题，在当时，这三个问题可是让不少的数学家拿着直尺与圆规不知所措，但如今，我们已经知道，他们是尺规作图所无法征服的三座大山。不过现在，我就要仅仅用一张正方形的纸，来翻过三等分角这座“山”：

①在正方形的一角折出我们要等分的角度

②将正方形的竖直边四等分

③利用公理六：将顶点A与中点E分别折到四等分线和θ角边上

④沿AA'与AF'折叠

如此所得

       角度的证明并不难，在此我就留下作为小小思考题给大家吧。现在我们知道了，对于任意锐角，我们都可用此法进行三等分。那么钝角呢？转化成90°加一锐角不就行了嘛，三等分后添上个30°即为所求；但是优角呢？同理转化成180°加一劣角就行了，最后添上60°即为所求。

       说到60°，若我们将视频里的六等分圆中所有的60°角都三等分了，不就成了十八等分了？九等分不也就顺路出来了？OK，九等分圆解说完成，我们下期再……(ಡωಡ) （梅开二度）

       我们在上文说明了，折纸可以做到尺规作图所做不到的事，但目前离找到七等分圆的方法还有不小的距离，所以，就让我继续水水小问题吧：

       贝洛克正方形:

       我们在平面上给出如公理六般的两点A，B与两条直线a，b，然后构造一个正方形STUV，使得这个正方形的其中一条边的端点分别落在a，b两条直线上；同时，与这条边相邻的一组对边的延长线也要分别经过A，B两点。如下图：

       上图中的正方形STUV就是贝洛克正方形（Beloch square），做出这个正方形并不难，可以参考一下zhanpin1这位up的文章，而我这里将把这个问题简化一下：       贝洛克正方形，本质上就是找到一条三段的“直角折线”，使其端点分别为A与B，而直角顶点则落于a，b两条直线上：

       现在，我们知道了如何利用折纸构造满足以上要求的直角折线了，但我们要解决七等分圆还需要另一个工具，为此，我来介绍第二个小问题：

     开立方根：

       还是李永乐老师的那期视频，大家如果了解的话，应该不难想到如何给一个数开平方吧？简单来说就是：利用直角三角形的射影定理

         同理，如果我们构造出来如下图红色虚线所示的直角折线，那么不就找到了x的立方根了吗：

        现在，是不是觉得有些接近我们所要解的“三次方程”了？看，我们把求a的立方根换一种说法：“求解三次方程：x³ - a=0”，这就是上图所表示的意思。那么，是不是对于所有一般的三次方程：ax³+bx²+cx+d=0，都有一条直角折线与之对应呢？

       莉尔法则：

      我现在要介绍的，就是一个能将多项式方程转化为一条直角折线的法则：莉尔法则（Lill's method），方式如下：

      就用我们上文得到的三次方程来举例吧：

      得到系数为：1，1，-2，-1      然后按顺序做出直线段：

       好了，方程列完了，接下来我们就该解了。还记得之前是如何做出x的立方根的吗？没错，既然之前我们利用了一条三段的直角折线，这里我们一样基于这条四段的折线画条三段的折线，要求为：       一、三段直角折线的端点与四段折线端点重合，即A，B两点。       二、使三段直角折线中的两顶点恰好依次在四段折线的中间两段所在的直线上，即l，m两线。如图：

       如图可知，我们得到了三条不同但均满足上述条件的三段折线，这就是说下面这个三次方程：

x³+x²-2x-1=0

有三个实根，但这只是根的个数与折线的个数具有相等的对应关系，那么根的值与折线的哪个量相关呢？

       我们回看上面那张“1·X=³√X·³√X²”的折线图，现在我们知道了这条折线表示的是：x³-X=0这一三次方程，方程的解显而易见的是x=³√X，同样显而易见的是，图中左下角的直角三角形的斜边斜率：k= - ³√X，大家可以自己试试其他的例子，看看这条折线的起始段的斜率的相反数与其所表示的方程的根是否相等。       我在这里提供一种比较通俗的理解方法：先从一次方程：ax+b=0开始，由下图可知，x的解显然就是这个直角三角形的斜边的斜率的相反数

       那么对于二次方程：ax²+bx+c=0，假如方程的解为：x=-k，那么显然我们可以令b=b1+b2，并将方程改写成如下形式：

x·(ax+b₁)+(b₂·x+c)=0

       使得：b1/a=c/b2=k，即将相似的两直角三角形如下图拼接在一起：

       三次及以上的方程均同理，这其中利用了相似三角形，这也是为什么用直角折线来表示方程的原因。

       小问题介绍完了，下面我们就来梳理一下解决七等分圆的逻辑线吧：(1)   由“贝洛克正方形”，我们知道可以由两条直线在两点间通过折纸法构造一条三段的直角折线，使得折线的两个顶点正好分别落在两条直线上。(2)   由“莉尔法则”，我们可以将任意的一个三次方程转化为一条四段的直角折线，而这三次方程的解可以由一条三段直角折线的第一段的斜率表示，这条三段折线恰好是以四段折线的端点为端点，其顶点也就在四段折线的中间两段所在的直线上。(3)   借助“欧拉公式”，我们将七等分圆所要的角度的cos值转化成了一个三次方程的解。

       综上所述，我们就可以利用“贝洛克正方形”找到表示七等分圆所必要的角度的cos值为解的三次方程通过“莉尔法则”转化成的四段直角折线的端点为端点并以方程的解的值的相反数为第一段的斜率的三段直角折线。       简而言之，就是：理论上可以用折纸法完成圆的七等分(ಡωಡ)。 

       具体的操作步骤解读如下：       前面这几步对折就是为了将代表以我们上面所得的x₁，x₂，x₃，即2cos(2π/7)等为解的三次方程：x³+x²-2x-1=0的两个端点的位置表示出来：

       接下来这步就是“贝洛克正方形”的做法：

       图中的黄点到黑点的线段，即三段直角折线的第一段，它的斜率在以圆心为原点，水平直径为x轴的平面直角坐标系里就是2cos(4π/7)，所以，只要我们找到适合的x，例如：x=R/2，就可以得出我们所需要的y值，即：y=cos(4π/7)·R，通过y值作y轴的垂线，与半径为R的圆的交点，显然就是我们需要的七等分点。

       如左上图所示，可见点x₁到点O的距离正好就是R/2，所以橙色点就是我们要找的y值所在，接下来的步骤就简单了，通过圆周角的性质，就可以很容易的得到其他的点了。       至此，七等分圆的理论证明就此完成。       那么，可以用折纸来完成的等分圆有哪些呢？(ಡωಡ)

参考资料：

一、(1) 高斯如何做出正17边形？李永乐老师讲数学神器【尺规作图1/2】(bv1vE411b7UP)(2) 史上最悲惨的数学家是谁？为什么不能三等分任意角？【尺规作图2/2】(bv1bE411v7Xf)

二、(1)折纸数学-扔掉工具，你能走的更远（一）：Huzita-Hatori公理 (CV1161207)

(2)折纸数学-扔掉工具，你能走的更远（二）：公理6 (CV1163882)

(3)折纸数学-扔掉工具，你能走的更远（三）：三次方程？ (CV1164517)

(4)折纸数学-扔掉工具，你能走的更远（四）莉儿法则 (CV1167905)

(5)折纸数学-扔掉工具，你能走的更远（五）：一个简单却又不简单的折纸题 (CV1169447)

三、第25期：系列最难！解决尺规作图问题（倍立方、三等分角、正七边形、化圆为方）【数学玄学家Mathologer】 (bv1M4411X7iE)

四、Thomas C. Hull，Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill，《 The American Mathematical Monthly》，10.4169/amer.math.monthly.118.04.307，118，4，(307)，(2011).