用一种极其巧妙的方法证明海伦公式

       求一个三角形的面积有几种方法呢？在上一篇专栏里，我曾简单地提到了一些方法，而这次就让我们用这个问题来做个开头吧。

       学过三角函数的同学应该知道“解三角形”的意思吧？三角形就表面上看有六个元素：三条边，三个角，解三角形就是仅仅给出这六个元素中的三个（不包括同时给出三个角），然后求出另外三个元素，换而言之，就是：只要知道三个元素（其中必含一条边），就可以将这个三角形确定下来。所谓的三角形的全等证明就是利用了这一点。（补充：全等条件不包括边边角SSA，至于为什么，大家应该清楚吧）

       那么，接下来我们就基于上述条件分别来求求各种情况下的三角形面积公式吧：

已知两条边与其夹角（SAS）：

由图可知：

已知两个角与其夹边（ASA）：

由图可知：

已知两角与某一角对边（AAS）：

由图可知：

       事实上，以上方法究其本质，都是我们早就知道的：“三角形面积=底×高/2”这个公式，海伦公式也不例外，你们看过的证明里一定有“用勾股定理构造方程解高，然后乘底除以2，再之后化简成原式”，同时也应该有“以余弦定理为踏板，解出某一角度的正弦值，再乘上两条边除以2，化简得原式”这种方法。但我这次就不这么干，什么“勾股定理，余弦定理”都不要，用用相似就能得到海伦公式的证明（你没看错，就是相似，给你们加粗描红(ಡωಡ)）。

已知三条边（SSS）：

       我们这次用到的图是这样的：

看花眼了？那我们就从三分之一入手吧：

        我们都知道在任意三角形内都有一个同时与三条边相切的圆，这个圆就叫内切圆（上图的⊙I），点I又称内心。但同样的，在三角形外也有同时与三条边所在的直线相切的圆，这种圆称为旁切圆，每个三角形都有三个（如上上图中的⊙I1，⊙I2，⊙I3），它们的圆心就叫旁心，由三角形的一条内角平分线与两条外角平分线相交得到（算是补上了我上篇专栏里关于旁心的坑了吧(≧∇≦)ﾉ，没看过的可点击→CV3714440）。

       现在就让我们来看看这个加上了旁心的图里都藏了些什么玄机。既然我说了利用相似，那我们就找找这幅图里哪里有相似，首先：△AIF(或△AIE)～△AI1D2(或△AI1D3)

由图：

同时，我们还可以看出：△BID(或△BIF)～△BI1D1(或△BI1D2) 和 △CID(或△CIE)～△CI1D1(或△CI1D3)

由图：

      好了，所有的相似以及其比例关系我们都找到了，下面就是见证奇迹的时刻了：

      在上面的等式里我们提到了这些线段：IF，AF，AD2，I1D2，I1D1，ID，BD，BD1，CD，CD1，除了：IF=ID=r，I1D2=I1D1=R1，其它的线段能否利用三角形三条边a，b，c表示呢？      我们先从AF，BD，CD入手：     由切线长定理，我们可得：

     再由图可知：

     这不就是一个三元一次方程组嘛，而且显然可解，解得：

        接下来我们看AD2，BD1，CD1：        显然，再由切线长定理：

      然后，由图：

       神奇吧？我想你们应该知道接下来该做什么了吧？我们结合上面多式：

      如果我们将剩余的那三分之二也分析一下，我们就能得到：      r·p = R1·(p-a) = R2·(p-c) = R3·(p-b)      r·R2 = (p-a)·(p-b)，r·R3 = (p-a)·(p-c)      不过有些多此一举了，注意到我们现在有两种方法求△ABC的面积

      所以我们上面的①式，等于的就是所求△ABC的面积，那么我们就直接将①，②相乘，得：

       证毕

       有没有觉得这种方法真的很巧妙呢？想当初我找出这种证法时可不容易啊(ಥ _ ಥ)，当然，现在解决了，不过魔鬼如我怎么会就此停下呢？我要把这问题再拓展一下：圆内接四边形面积公式（婆罗摩笈多公式）：S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)是不是也有一种巧妙的几何证法呢？大家如果有什么灵感的话，可以再评论区里留言哦。毕竟我觉得：

数学的结果不重要，推导的过程才重要