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原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360 本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，Fama-French三因子（因素）模型的实现和使用。 具有单一市场因素的宏观经济因素模型我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为  其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：  大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据： 代码语言：javascript复制 # 设置开始结束日期和股票名称列表 begin_date 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988 #> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520 #> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761 #> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919 head(SP500_index) #> index #> 2016-01-04 2012.66 #> 2016-01-05 2016.71 #> 2016-01-06 1990.26 #> 2016-01-07 1943.09 #> 2016-01-08 1922.03 #> 2016-01-11 1923.67 plot(SP500_index) 代码语言：javascript复制 # 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
X AEZS -0.0022091301
#> A 0.0002810616
#> APD 0.0001786375
#> AA 0.0006429140
#> CF -0.0006029705
print(beta)
#> index
#> AAPL 1.0957919
#> AMD 2.1738304
#> ADI 1.2683047
#> ABBV 0.9022748
#> AEZS 1.7115761
#> A 1.3277212
#> APD 1.0239453
#> AA 1.8593524
#> CF 1.5702493或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合  ，我们定义  和扩展因子  。然后最小化  代码语言：javascript复制 t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)
#> alpha beta
#> AAPL 0.0003999086 1.0957919
#> AMD 0.0013825599 2.1738304
#> ADI 0.0003609968 1.2683047
#> ABBV 0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A 0.0002810616 1.3277212
#> APD 0.0001786375 1.0239453
#> AA 0.0006429140 1.8593524
#> CF -0.0006029705 1.5702493
E alpha index
#> AAPL 0.0003999086 1.0957919
#> AMD 0.0013825599 2.1738304
#> ADI 0.0003609968 1.2683047
#> ABBV 0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A 0.0002810616 1.3277212
#> APD 0.0001786375 1.0239453
#> AA 0.0006429140 1.8593524
#> CF -0.0006029705 1.5702493可视化协方差矩阵有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]  以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始： 代码语言：javascript复制main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵") 我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图： 代码语言：javascript复制plot(cov2cor(Psi), main = "残差协方差矩阵") 代码语言：javascript复制 cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业
#> stock_namelist sector_namelist
#> [1,] "AAPL" "Information Technology"
#> [2,] "AMD" "Information Technology"
#> [3,] "ADI" "Information Technology"
#> [4,] "ABBV" "Health Care"
#> [5,] "AEZS" "Health Care"
#> [6,] "A" "Health Care"
#> [7,] "APD" "Materials"
#> [8,] "AA" "Materials"
#> [9,] "CF" "Materials" 有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。 评估投资资金在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）： 我们首先加载数据： 代码语言：javascript复制 # 设置开始结束日期和股票名称列表 begin_date 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421 #> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826 #> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296 #> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978 head(SP500_index) #> index #> 2016-10-03 2161.20 #> 2016-10-04 2150.49 #> 2016-10-05 2159.73 #> 2016-10-06 2160.77 #> 2016-10-07 2153.74 #> 2016-10-10 2163.66 # 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子 X XIVH 1.810392e-03 2.4971086 #> SPHB -2.422107e-04 1.5613533 #> SPLV 1.070918e-04 0.6777149 #> USMV 1.166177e-04 0.6511667 #> JKD 2.569578e-04 0.8883843现在可以进行一些观察： SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）：α= 1.810392×10-3。SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。JKD显示出很好的折衷。我们可以使用一些可视化： 代码语言：javascript复制barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型 我们获得 夏普比率如下： 假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名： 代码语言：javascript复制 print(ranking) #> alpha/beta SR alpha beta #> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086 #> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843 #> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667 #> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149 #> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424 #> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533可以看到： 就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。Fama-French三因子模型该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始： 代码语言：javascript复制 # 设置开始结束日期和股票名称列表 begin_date 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35 #> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03 #> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15 #> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56 tail(fama_lib) #> Mkt.RF SMB HML #> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04 #> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44 #> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03 #> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84 #> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45 #> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50 # 计算股票的对数收益率和Fama-French因子 X AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858 #> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117 #> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271 #> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627 #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182 #> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290 #> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938 #> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692 #> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523另外，我们可以使用R完成： 代码语言：javascript复制#> alpha Mkt.RF SMB HML #> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858 #> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117 #> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271 #> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627 #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182 #> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290 #> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938 #> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692 #> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523 统计因子模型现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法： PCA：样本均值： 矩阵： 样本协方差矩阵： 特征分解： 估计：    更新特征分解： 重复步骤2-3，直到收敛为止。代码语言：javascript复制#> alpha
#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515
#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473
#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661 同样，我们可以使用R完成工作： 代码语言：javascript复制#> alpha factor1 factor2 factor3 #> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226 #> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515 #> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139 #> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810 #> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473 #> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654 #> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394 #> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957 #> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661 通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较我们最终将比较以下不同的因子模型： 样本协方差矩阵宏观经济一因素模型基本的三因素Fama-French模型统计因素模型我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估： 加载训练和测试集： 代码语言：javascript复制# 设置开始结束日期和股票名称列表 begin_date |
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