【线代】线性方程组：非齐次/齐次方解的个数、系数矩阵的秩、未知数个数的关系？为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？

目录

一、起因

二、概念理解

1. Ax=0 基础解系

2. Ax=b 线性无关解的个数

3. 为什么 Ax=0 比 Ax=b 少1个线性无关的解？

三、解题

四、小结

上一篇文章主要讲了线性方程组求解时，不同对解的问法是什么含义。

今天这篇主要是针对一个问题。齐次方程中，s=n - r(A)，即基础解系的解的个数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩。

那么非齐次方程组，是否存在类似关系呢？

基础解系，是齐次方程解集的极大线性无关组，所以解集中线性无关解个数的最大值，也就是基础解系中解的个数！

注：基础解系是针对齐次方程的概念。

非齐次方程解集中，线性无关解的个数的最大值，就是基础解系中解的个数 + 一个特解。

因为，设基础解系为α1、α2，那么 Ax=b 的通解为 k1α1+k2α2+η，此时k1、k2任意取值，可以都为0。Ax=b 解集的极大线性无关组是 {α1+η，α2+η，η}，也等于 {α1，α2，η}。

上述已经解答，是因为少了个特解，且这个特解与 Ax=0 的通解必线性无关。

因为齐次方程的通解，代入后都满足 Ax=0。特解如果与它们线性相关，代入后 Ax=0 成立，这就不是非齐次的特解了。

《非齐次线性方程和齐次方程中，解的个数、系数矩阵的秩、未知数个数有什么关系？》：https://zhidao.baidu.com/question/650780316612368365.html

一个例题：https://wenku.baidu.com/view/346b86186d175f0e7cd184254b35eefdc8d315be.html

原题来自《接力题典1800（数学三）》的四、线性方程组

此题给出了非齐次方程组的3个解，且线性无关（这里线性无关是检验出来的！可假设aη1+bη1+η3=0，若无关a=b=c=0，即方程只有0解。经检验，r(B)=3