7种常见分布的数学期望及其证明

离散型随机变量数学期望

定义1 设离散型随机变量 X X X的分布律为 P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2... P(X=x_i)=p_i,i=1,2... P(X=xi​)=pi​,i=1,2...，若级数 ∑ i = 1 + ∞ ∣ x i ∣ p i \sum^{+\infin}_{i=1}\mid x_i\mid p_i ∑i=1+∞​∣xi​∣pi​收敛，则称 ∑ i = 1 + ∞ x i p i \sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i ∑i=1+∞​xi​pi​为 X X X的数学期望。记为 E ( X ) E(X) E(X)。即： E X = ∑ i = 1 + ∞ x i p i 。 EX=\sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i。 EX=i=1∑+∞​xi​pi​。 连续型随机变量数学期望

定义2 设连续型随机变量 X X X的密度函数为 p ( x ) , p(x), p(x),若积分 ∑ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ p ( x ) d x < + ∞ \sum_{-\infin}^{+\infin}\mid x \mid p(x)dx < +\infin ∑−∞+∞​∣x∣p(x)dxX=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,...,∴E(X)=k=0∑∞​k⋅k!λk​e−λ=k=1∑∞​k⋅k!λk​e−λ=k=1∑∞​(k−1)!λ⋅λk−1​e−λ=λ⋅k=1∑∞​(k−1)!λk−1​e−λm=k−1,∴λ⋅m=0∑∞​m!λm​e−λ=λ⋅1=λ 注意， ∑ m = 0 ∞ λ m m ! \sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!} ∑m=0∞​m!λm​为 e λ e^\lambda eλ的幂级数展开式。

若 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b)，则 E ( x ) = a + b 2 E(x)=\frac{a+b}{2} E(x)=2a+b​。

证明：

X X X的密度： p ( x ) = { 1 b − a , aX=k}=p(1−p)k−1k=1,2,...

E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k p ( 1 − p ) k − 1 = x = 1 − p p ∑ p + ∞ k x k − 1 = p ∑ k = 1 + ∞ ( x k ) ′ = p ( ∑ k = 1 + ∞ x k ) ′ = p ( x 1 − x ) ′ = p 1 ( 1 − x ) 2 = x = 1 − p 1 p E(X)=\sum_{k=1}^{\infin}kp(1-p)^{k-1}=^{x=1-p}p\sum_p^{+\infin}kx^{k-1}\\ =p\sum_{k=1}^{+\infin}(x^k)^{'}=p(\sum_{k=1}^{+\infin}x^k)^{'}\\ =p(\frac{x}{1-x})^{'}=p\frac{1}{(1-x)^2}=^{x=1-p}\frac{1}{p} E(X)=k=1∑∞​kp(1−p)k−1=x=1−ppp∑+∞​kxk−1=pk=1∑+∞​(xk)′=p(k=1∑+∞​xk)′=p(1−xx​)′=p(1−x)21​=x=1−pp1​