学科交融之数量中的一笔画问题

方法有两种：加线、去线。题目中主要考察的是加线。

加一条线共有3种情况：

1、连接2个偶点，奇点数会多2；

2、连接1个偶点和1个奇点，奇点数会不变；

3、连接2个奇点，奇点数会少2。

因此，只有连接2个奇点才能让奇点数减少到0或2个，完成转换。

【对应题型】

一般题目会给出一个几何图形，从某点出发经过图中每一条线，求最短路程。

【解题策略】

先数出奇点个数2N，然后连接2个奇点（1个奇点只能连接1次），将奇点数减少到0或2，添加的线即为重复走的路段，最后求出全部线条的长度之和。

根据“一笔画的规律”和题目的要求，加线的条数略有不同：

1、未要求返回起点，添加N－1条线，将奇点数减少到2；

2、要求回到起点，添加或N条线，将奇点数减少到0。

下面我们通过几个例题来熟悉一下这类题型的解题思路。

【例1】一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD周长为800米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中DE、BF分别与AB和CD垂直。如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路，问需要行进的距离最少是多少米？（ ）

【答案】B。

【解析】要想行进距离最少，则需要用最少的笔画数把图形画完。该图的奇点为A、E、C、F，奇点数为4，最少需要两笔画完。题目未要求返回起点，则需添加1条线，将奇点数减少到2，才可“一进一出”，连接AE，则线段AE即为重复走的路段。根据几何知识，可知在正三角形ABD中，AE＝100，BD＝200，ED＝100

，而AO＝OC＝BF＝ED，因此所走最短距离为800＋BD＋4ED＋AE＝1100＋400

。本题选项为B。

【例2】某社区道路如下图所示，社区民警早上9点整从A处的办公室出发，以每分钟50米的速度对社区内每一条道路进行巡查（要求完整走过整个社区内的每一段道路），问他最早什么时候能返回办公室？（ )

A.9：54 B.9：50

C.9：47 D.10：00

【答案】A

【解析】要想尽早返回办公室，则需行进距离最少，用最少的笔画数把图形画完。该图的奇点为H、G、M、N，奇点数为4，最少需要两笔画完。题目要求返回起点A，则需添加2条线，将奇点数减少到0，才可“同进同出”，分别连接HN和MG，则线段HN和MG即为重复走的路段。经过EB、FC、AH的时间为4分，AE、BF、HD的时间为3分。根据几何知识，可知经过EF的时间为5分，HN＝AE＝3，MG＝FC＝4，HN＋MF＝AB＝DC＝7分，EN＋NG＝AD＝BC＝7分，所需总时间为5＋6×7＋3＋4＝54分。因此，本题选项为A。返回搜狐，查看更多