MATLAB 符号表达式与运算全面详细讲解

sym 函数能够定义单个的符号变量，如下所示：

运行后的显示为：

a = a

当需要定义多个变量时，则可以在后面写上需要变量的行数与列数，其可以生成多行多列的变量矩阵。

打印出的结果如下

A = [ a1_1, a1_2, a1_3, a1_4] [ a2_1, a2_2, a2_3, a2_4]

当想调用对应的符号时用矩阵元素的索引即可

f = 8*a1_3

sym 还支持自定义生成的变量的形式，

生成的符号就是a_1_1 的形式。

使用sym 函数能够将数据的值进行精确的保留，不必要担心计算机计算的误差等问题。 例如，当计算 1 123467 ∗ 3 4 \frac{1}{123467} * \frac{3}{4} 1234671​∗43​ 时，我们想要的是准确的分数形式，但是直接输入的话会导致答案成为浮点形式，这时使用 sym函数就能避免这种情况。 直接输入如下：

输出为

answer = 6.0750e-07

使用sym函数转换后：

输出为

answer2 = 3/4938268

该答案为分式形式的准确解。 注意：在使用sym函数进行精度保留时，不能将其写为sym(1/1234567) ，写成这种形式时会优先计算1/1234567再将其转为分式，精度已经得到了损失。

syms函数能够很快的定义多个不同的变量，变量之间只需要使用空格隔开就行，形式如下：

使用whos命令查看所有变量为

Name     Size     Bytes Class     Attributes a             1x1            8  sym b             1x1            8  sym c             1x1            8  sym d             1x1            8  sym

syms 同样可以定义多行多列的数据类型，形式如下

以上代码定义了一个4*3的符号，等价于a=sym('a', [4 3])，符号全部存储在a当中，需要使用时只需要使用诸如a(1,3)的索引即可。

使用符号定义了一个符号函数后，往往需要将符号函数中的一些符号代换成其他符号或者数值类型，这种情况下一般使用 subs 函数。

subs 函数的一般形式如下

其参数的含义是在符号表达式 S 中，利用 new 中的符号或数值替换 old 中的符号。 其示例如下

输出如下：

f1 = a*sin(x)^2 + c + b*log(y) f2 = 2*x^2 + c + 3*y f3 = [ x^2 + c + b*y, 2*x^2 + c + b*y, 3*x^2 + c + b*y, 4*x^2 + c + b*y]

使用数值对表达式进行了替换后，往往需要对精度做一定的控制与保证，这个时候就需要使用vpa 函数了。 控制精度的方法有两种，一是用 digits 函数+ vpa 函数，一种是直接用 vpa 函数。

方式一： digits+vpa digits函数规定了精度的保留位数 ，默认是32位，vpa函数对数值进行计算。如digits(10)代表精度保留为有效数字10位，digits函数使用后必须要配合vpa函数使用。

例 计算 π ∗ e 2 \pi * e^2 π∗e2 的值，保留50位有效数字。

输出如下：

ans = 23.213404357363387236150345896006882480062932649056

有效数字位数为50位。

方式二： vpa vpa 函数有还有一种格式如下

其中 E 为传入的要计算的值， D 为要保留的精度。

例 计算 f ( x ) = c o s 1 + s i n 1 f(x) = cos1+sin1 f(x)=cos1+sin1 的值，保留50位有效数字。

上述代码计算 f ( 1 ) f(1) f(1) 的值，设定精度为50，结果为

y = 1.3817732906760362240534389290732756033548734814163

符号表达式中使用 factor函数对符号表达式进行因式分解，调用格式如下

其中 E 为符号表达式.

例 化简 f = x 3 + x 2 − x − 1 f=x^3+x^2 - x - 1 f=x3+x2−x−1

输出为

f1 = [ x - 1, x + 1, x + 1]

使用 expand函数对符号表达式进行展开，调用格式如下

其中 E 为符号表达式.

例 展开函数 f = ( x + y ) 4 f=(x + y)^4 f=(x+y)4

输出为

f1 = x^4 + 4*x^3*y + 6*x^2*y^2 + 4*x*y^3 + y^4

使用 collect函数对符号表达式进行展开，其调用格式有两种

将符号表达式 E 中各sym变量前的系数进行合并。

将符号表达式 E 中的 v 的同幂项系数进行合并。

例 将函数 f = − a x e − c x + b e − c x f=-axe^{-cx} + be^{-cx} f=−axe−cx+be−cx的同类项进行合并。 注意，该题下如果不指定合并的项数，那么其将不会进行合并，因为没有除了数值外相同的sym 项，比如下面的代码

输出为

f1 = (-a*exp(-c*x))*x + b*exp(-c*x)

不能说没有变化，只能说变了不如没变。

该题要想合并必须指定合并的项，

输出为

f1 = (b - a*x)*exp(-c*x)

使用 simplify函数对符号表达式进行化简，调用格式如下

其中 E 为符号表达式.

例 化简函数 e 1 = c o s 2 x + s i n 2 x e_1= cos^2x + sin^2x e1​=cos2x+sin2x 和 e 2 = e c ∗ l n ( a + b ) e_2= e^{c * ln(a + b)} e2​=ec∗ln(a+b)

输出为

e1 = 1 e2 = (a + b)^c

除此之外，也可用simple 函数进行化简，simple会对符号表达式进行不同的尝试，并返回长度最短的形式。其调用格式如下：

其中 E 为符号表达式, R为化简结果，HOW为化简方法。

使用 numden函数对符号表达式进行通分，调用格式如下

其中 E 为符号表达式， N为通分后的分子，D为通分后的分母。

例 对函数 f = x k y + y p x f = \frac{x}{ky} + \frac{y}{px} f=kyx​+pxy​ 进行通分。

输出为

f1 = (p*x^2 + k*y^2)/(k*p*x*y)

使用 horner函数对符号表达式进行嵌套类型的分解，调用格式如下

其中 E 为符号表达式。

例 将 f = − a x 4 + b x 3 − c x 2 + x + d f = -ax^4+bx^3-cx^2+x+d f=−ax4+bx3−cx2+x+d 转为嵌套形式的表达式。

输出为

f1 = d - x*(x*(c - x*(b - a*x)) - 1)

使用 finverse函数对符号表达式进行嵌套类型的分解，调用格式如下

其中 E 为符号表达式, v 为指定的自变量，单变量为 x 时 v 可以省略。

例 求函数 f = a x + b f = ax+b f=ax+b 的反函数。

输出为

g = -(b - x)/a

使用 compose函数对两个符号表达式进行复合求解，调用格式如下

当 f = f ( x ) f = f(x) f=f(x)以及 g = g ( y ) g = g(y) g=g(y)时，返回复合函数 f ( g ( y ) ) f(g(y)) f(g(y)) 。

当 f = f ( x ) f = f(x) f=f(x)以及 g = g ( y ) g = g(y) g=g(y)时，返回复合函数 f ( g ( z ) ) f(g(z)) f(g(z)) 。

当 f = f ( t ) f = f(t) f=f(t)以及 g = g ( u ) g = g(u) g=g(u)时，返回复合函数 f ( g ( z ) ) f(g(z)) f(g(z)) 。