图像处理中的数学基础

    论文中遇到很重要的一个元素就是高斯核函数，但是必须要分析出高斯函数的各种潜在属性，本文首先参考相关材料给出高斯核函数的基础，然后使用matlab自动保存不同参数下的高斯核函数的变化gif动图，同时分享出源代码，这样也便于后续的论文写作。

高斯函数，Gaussian Function， 也简称为Gaussian，一维形式如下：

对于任意的实数a,b,c，是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。高斯的一维图是特征对称“bell curve”形状，a是曲线尖峰的高度，b是尖峰中心的坐标，c称为标准方差，表征的是bell钟状的宽度。

高斯函数广泛应用于统计学领域，用于表述正态分布，在信号处理领域，用于定义高斯滤波器，在图像处理领域，二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur，在数学领域，主要是用于解决热力方程和扩散方程，以及定义Weiertrass Transform。

从上图可以看出，高斯函数是一个指数函数，其log函数是对数凹二次函数 whose logarithm a concave quadratic function。

高斯函数的积分是误差函数error function，尽管如此，其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来，使用如下的高斯积分

同理可得

当且仅当

上式积分为1，在这种情况下，高斯是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值μ=b，方差delta^2 = c^2，即

    二维高斯函数，形如

A是幅值，x。y。是中心点坐标，σx σy是方差，图示如下，A = 1, xo = 0, yo = 0, σx = σy = 1

这一节使用matlab直观的查看高斯函数，在实际编程应用中，高斯函数中的参数有

ksize 高斯函数的大小

sigma 高斯函数的方差

center 高斯函数尖峰中心点坐标

bias 高斯函数尖峰中心点的偏移量，用于控制截断高斯函数

为了方便直观的观察高斯函数参数改变而结果也不一样，下面的代码实现了参数的自动递增，并且将所有的结果图保存为gif图像，首先贴出完整代码：

%% 保存gif动画 item = 10; % 迭代次数 dt = 1; % 步长大小 ksize =20; % 高斯大小 sigma = 2; % 方差大小 % filename = [‘ksize-’ num2str(ksize) ‘–’ num2str(ksize+dtitem) ‘-sigma-’ num2str(sigma) ‘.gif’]; %必须预先建立gif文件 filename = [‘ksize-’ num2str(ksize) ‘-sigma-’ num2str(sigma) ‘–’ num2str(sigma+dtitem) ‘.gif’]; %必须预先建立gif文件

% main loop for i = 1:item center = round(ksize/2); % 中心点 bias = ksize*10/10; % 偏移中心点量 ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias); % 构建核函数 tname = [‘ksize-’ num2str(ksize) ‘-sigma-’ num2str(sigma) ‘-center-’ num2str(center)]; figure(i), mesh(ksigma), title(tname); %设置固定的x-y-z坐标范围，便于观察，axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]); view([0, 90]);% 改变可视角度 % ksize 递增 % ksize = ksize + 10; % sigma 递增 sigma = sigma + dt;

end;

close all;

%% 截断高斯核函数，截断的程度取决于参数bias function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias) %ksize = 80; sigma = 15; ksigma=fspecial(‘gaussian’,ksize, sigma); % 构建高斯函数 [m, n] =size(ksigma); for i = 1:m for j = 1:n if( (icenter+bias)||(jcenter+bias) ) ksigma(i,j) = 0; end; end; end; 结果图：

固定ksize为20，sigma从1-9，固定center在高斯中间，并且bias偏移量为整个半径，即原始高斯函数。

随着sigma的增大，整个高斯函数的尖峰逐渐减小，整体也变的更加平缓，则对图像的平滑效果越来越明显。

保持参数不变，对上述高斯函数进行截断，即truncated gaussian function，bias的大小为ksize*3/10，则结果如下图：

truncated gaussian function的作用主要是对超过一定区域的原始图像信息不再考虑，这就保证在更加合理的利用靠近高斯函数中心点的周围像素，同时还可以改变高斯函数的中心坐标，如下图：

为了便于观察截断的效果，改变了可视角度。

    论文中使用gaussian与feature map做卷积，目前的结果来看，要做到随着到边界的距离改变高斯函数的截断参数，因为图像的边缘如果使用原始高斯函数，就会在边界地方出现特别低的一圈，原因也很简单，高斯函数在与原始图像进行高斯卷积的时候，图像边缘外为0计算的，那么如何解决边缘问题呢？

先看一段代码：