| 基本群 | 您所在的位置：网站首页 › 一个等价关系决定一个分类吗 › 基本群 |
基本群
|
在代数拓扑中，基本群（fundamental group）是研究拓扑空间的重要工具，它一般定义在道路连通空间上，是借助空间中的道路的一些等价类作为元素来定义的一种群。 目录 1 定义 2 交换基点 3 诱导同态 4 性质 5 高阶基本群 定义[]我们记道路连通空间 X {\displaystyle X} 上的所有道路（即连续映射 f : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle f: [0, 1] \to X} ）全体是 P ( X ) {\displaystyle P(X)} ，那么道路同伦决定了 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一个等价关系 ∼ {\displaystyle \sim} ， f ∈ P ( X ) {\displaystyle f \in P(X)} 所在的等价类称为 f {\displaystyle f} 对应的道路类，记作 [ f ] . {\displaystyle [f].} 固定一点 p ∈ X {\displaystyle p \in X} 称为基点（base point），以这一点为起点和终点的闭道路（即满足 f ( 0 ) = f ( 1 ) = p {\displaystyle f(0) = f(1) = p} 的道路 f {\displaystyle f} ）全体按照上述等价关系决定的等价类的全体 P ( X ) / ∼= { [ f ] : f ∈ P ( X ) } {\displaystyle P(X)/\sim = \{ [f]: f \in P(X) \}} ，连同如下定义的乘法（可以验证其良定义）： [ f ] ⋅ [ g ] := [ f ⋅ g ] . {\displaystyle [f] \cdot [g] := [f \cdot g].} 构成一群，称为 X {\displaystyle X} 关于基点 p {\displaystyle p} 的基本群，记作 π 1 ( X , p ) . {\displaystyle \pi_1(X, p).}其中道路的乘法 f ⋅ g {\displaystyle f \cdot g} 是 f ⋅ g ( s ) = { f ( 2 s ) , 0 ⩽ s ⩽ 1 / 2 , g ( 2 s − 1 ) , 1 / 2 ⩽ s ⩽ 1. {\displaystyle f \cdot g(s) = \begin{cases} f(2s), & 0 \leqslant s \leqslant 1/2, \\ g(2s-1), & 1/2 \leqslant s \leqslant 1. \end{cases}} 由粘结引理可知这样的定义确实是一条道路。 交换基点[]假设 X {\displaystyle X} 是道路连通空间，不同基点决定了不同的基本群，它们之间有什么关系呢？我们可以证明： 假设 p , q ∈ X {\displaystyle p, q \in X} ， g {\displaystyle g} 是一条从 p {\displaystyle p} 到 q {\displaystyle q} 的道路，那么定义映射 Φ g : π 1 ( X , p ) → π 1 ( X , q ) [ f ] ↦ [ g ¯ ] ⋅ [ f ] ⋅ [ g ] . {\displaystyle \begin{align} \varPhi_g: \pi_1(X, p) & \to \pi_1(X, q) \\ ~[f] & \mapsto [\overline{g}] \cdot [f] \cdot [g]. \end{align}} 其中 g ¯ ( s ) = g ( 1 − s ) {\displaystyle \overline{g}(s) = g(1-s)} 是 g {\displaystyle g} 的逆道路。可以证明 Φ g {\displaystyle \varPhi_g} 是群同构。因此我们有时候会简写 π 1 ( X , p ) {\displaystyle \pi_1(X, p)} 为 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi_1(X)} ，但这不是一个好习惯。 假设同上， 如果 h {\displaystyle h} 是起点为 q {\displaystyle q} 的道路，那么成立 Φ g ⋅ h = Φ h ∘ Φ g . {\displaystyle \varPhi_{g \cdot h} = \varPhi_h \circ \varPhi_g.} 如果 ψ : X → Y {\displaystyle \psi: X \to Y} 连续，那么成立 Φ ψ ∘ g ∘ ψ ∗ = ψ ∗ ∘ Φ g . {\displaystyle \varPhi_{\psi \circ g} \circ \psi_* = \psi_* \circ \varPhi_g.} 上面定义的 Φ g {\displaystyle \varPhi_g} 依赖于 g {\displaystyle g} ，实际上 Φ g {\displaystyle \varPhi_g} 不依赖于特定道路 g {\displaystyle g} 的选择当且仅当 π 1 ( X , p ) {\displaystyle \pi_1(X, p)} 是交换群。 诱导同态[]下面我们来看不同的拓扑空间之间的基本群的关系。 假设 X , Y {\displaystyle X, Y} 是拓扑空间， φ : X → Y {\displaystyle \varphi: X \to Y} 是连续映射，我们可以证明：如果 f 0 , f 1 : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle f_0, f_1: [0, 1] \to X} 道路同伦，那么 φ ∘ f 0 {\displaystyle \varphi \circ f_0} 和 φ ∘ f 1 {\displaystyle \varphi \circ f_1} 也是道路同伦的。因此借助连续映射 φ {\displaystyle \varphi} 我们可以定义 φ ∗ : π 1 ( X , p ) → π 1 ( Y , φ ( p ) ) , [ f ] ↦ [ φ ∘ f ] , {\displaystyle \begin{align} \varphi_*: \pi_1(X, p) & \to \pi_1(Y, \varphi(p)), \\ ~[f] & \mapsto [\varphi \circ f], \end{align}} 它是良定义的，且可以证明它是群同态，我们称其为 φ {\displaystyle \varphi} 诱导的群同态。它有下面的一些简单性质： 如果 φ : X → Y , ψ : Y → Z {\displaystyle \varphi: X \to Y, \psi: Y \to Z} 是道路连通空间之间的连续映射，那么 ( ψ ∘ φ ) ∗ = ψ ∗ ∘ φ ∗ . {\displaystyle (\psi \circ \varphi)_* = \psi_* \circ \varphi_*.} 假设 X {\displaystyle X} 道路连通，那么恒等映射 Id X : X → X , x ↦ x {\displaystyle \text{Id}_X: X \to X, x \mapsto x} 诱导的群同态 ( Id X ) ∗ {\displaystyle (\text{Id}_X)_*} 是 π 1 ( X , p ) {\displaystyle \pi_1(X, p)} 上的恒等同态。 如果 φ : X → Y {\displaystyle \varphi: X \to Y} 是同胚，那么 φ ∗ : π 1 ( X , p ) → π 1 ( Y , φ ( p ) ) {\displaystyle \varphi_*: \pi_1(X, p) \to \pi_1(Y, \varphi(p))} 是群同构，即同胚的拓扑空间具有同构的基本群。 假设 A {\displaystyle A} 是道路连通空间 X {\displaystyle X} 的子空间，且存在连续映射 r : X → A {\displaystyle r: X \to A} 满足 r | A = Id A {\displaystyle r|_A = \text{Id}_A} ，那么 ( ι A ) ∗ {\displaystyle (\iota_A)_*} 是单同态， r ∗ {\displaystyle r_*} 是满同态，其中 ι A : A → X , a ↦ a {\displaystyle \iota_A: A \to X, a \mapsto a} 是自然嵌入。 性质[] 同胚的拓扑空间具有同构的基本群。 乘积空间的基本群：假设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n {\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n} 是道路连通空间，那么映射 P : π ( X 1 × ⋯ × X n , ( x 1 , ⋯ , x n ) ) → π 1 ( X 1 , x 1 ) × ⋯ × π 1 ( X n , x n ) [ f ] ↦ ( p 1 ∗ [ f ] , ⋯ , p n ∗ [ f ] ) {\displaystyle \begin{align} P: \pi(X_1 \times \cdots \times X_n, (x_1, \cdots, x_n)) & \to \pi_1(X_1, x_1) \times \cdots \times \pi_1(X_n, x_n) \\ ~[f] & \mapsto ({p_1}_*[f], \cdots, {p_n}_*[f]) \end{align}} 是群同构，其中 p i : X 1 × X 2 × ⋯ × X n → X i {\displaystyle p_i: X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \to X_i} 是自然投射。 （一个重要的引理）假设 ψ , φ : X → Y {\displaystyle \psi, \varphi: X \to Y} 连续且 H : ψ ≃ φ {\displaystyle H: \psi \simeq \varphi} 是同伦。对任意 p ∈ X {\displaystyle p \in X} 令 h ( t ) = H ( p , t ) {\displaystyle h(t) = H(p, t)} 是从 φ ( p ) {\displaystyle \varphi(p)} 到 ψ ( p ) {\displaystyle \psi(p)} 的道路，令 Φ h : π 1 ( Y , φ ( p ) ) → π 1 ( Y , ψ ( p ) ) {\displaystyle \varPhi_h: \pi_1(Y, \varphi(p)) \to \pi_1(Y, \psi(p))} 是群同构，那么成立 Φ h ∘ φ ∗ = ψ ∗ . {\displaystyle \varPhi_h \circ \varphi_* = \psi_*.} 同伦等价的道路连通空间具有同构的基本群。这也是计算基本群的有力方法之一。 假设 X , Y {\displaystyle X, Y} 是道路连通的拓扑空间且 π 1 ( Y , q ) {\displaystyle \pi_1(Y, q)} 是交换群， F , G : X → Y {\displaystyle F, G: X \to Y} 同胚，且对某个 x ∈ X {\displaystyle x \in X} 成立 F ( x ) = G ( x ) {\displaystyle F(x) = G(x)} ，那么 F ∗ = G ∗ {\displaystyle F_* = G_*} ，如果 π 1 ( Y , q ) {\displaystyle \pi_1(Y, q)} 不是交换群则不一定成立上面的关系。 高阶基本群[] 同伦论（学科代码：1103120，GB/T 13745—2009） 同伦和基本群 同伦 ▪ 道路同伦 ▪ 同伦等价（形变收缩和可缩空间） ▪ 基本群 ▪ 圆束 ▪ 单连通空间 ▪ Seifert-Van Kampen 定理 复形和闭曲面分类 单纯形 ▪ 单纯复合形 ▪ 胞腔复形 ▪ CW 复形 ▪ 三角剖分 ▪ Euler 示性数 ▪ 曲面的多边形表示 ▪ 闭曲面分类定理 ▪ 亏格 复叠空间 复叠空间 ▪ 提升 ▪ 复叠空间的分类 ▪ 复叠变换 ▪ 正则复叠空间 ▪ 泛复叠空间 所在位置：数学（110）→ 拓扑学（11031）→ 同伦论（1103120） |
上的所有道路（即连续映射
f
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle f: [0, 1] \to X}
![{\displaystyle f:[0,1]\to X}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7e75c4dcde2685ed738327a5c018137fef6c5d9f)
）全体是
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
，那么道路同伦决定了
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
，
f
∈
P
(
X
)
{\displaystyle f \in P(X)}
所在的等价类称为
f
{\displaystyle f}
对应的道路类，记作
[
f
]
.
{\displaystyle [f].}
![{\displaystyle [f].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/12ad0915b02ccb055cbb9e8f797f6e0503ae7d03)
称为基点（base point），以这一点为起点和终点的闭道路（即满足
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
p
{\displaystyle f(0) = f(1) = p}
的道路
f
{\displaystyle f}
![{\displaystyle P(X)/\sim =\{[f]:f\in P(X)\}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/780b74cf06b505162470a293ceb697fe596ccf82)
，连同如下定义的乘法（可以验证其良定义）：
![{\displaystyle [f]\cdot [g]:=[f\cdot g].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/aab3a78950011d7796314db3a36c56c77ef7a2d8)
构成一群，称为
X
{\displaystyle X}
的基本群，记作
π
1
(
X
,
p
)
.
{\displaystyle \pi_1(X, p).}
是
由粘结引理可知这样的定义确实是一条道路。
交换基点[]
，
g
{\displaystyle g}
是一条从
p
{\displaystyle p}
的道路，那么定义映射
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varPhi _{g}:\pi _{1}(X,p)&\to \pi _{1}(X,q)\\~[f]&\mapsto [{\overline {g}}]\cdot [f]\cdot [g].\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/87f18731d2898ab77b23c89dcb3c5f0e6c807f75)
其中
g
¯
(
s
)
=
g
(
1
−
s
)
{\displaystyle \overline{g}(s) = g(1-s)}
是
g
{\displaystyle g}
是群同构。
为
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi_1(X)}
，但这不是一个好习惯。
是起点为
q
{\displaystyle q}
如果
ψ
:
X
→
Y
{\displaystyle \psi: X \to Y}
连续，那么成立
Φ
ψ
∘
g
∘
ψ
∗
=
ψ
∗
∘
Φ
g
.
{\displaystyle \varPhi_{\psi \circ g} \circ \psi_* = \psi_* \circ \varPhi_g.}
上面定义的
Φ
g
{\displaystyle \varPhi_g}
是拓扑空间，
φ
:
X
→
Y
{\displaystyle \varphi: X \to Y}
是连续映射，我们可以证明：如果
f
0
,
f
1
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle f_0, f_1: [0, 1] \to X}
![{\displaystyle f_{0},f_{1}:[0,1]\to X}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a2b0c04d5ec3ad05c0aa36e6793a11dfeac19cf0)
道路同伦，那么
φ
∘
f
0
{\displaystyle \varphi \circ f_0}
和
φ
∘
f
1
{\displaystyle \varphi \circ f_1}
也是道路同伦的。因此借助连续映射
φ
{\displaystyle \varphi}
我们可以定义
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{*}:\pi _{1}(X,p)&\to \pi _{1}(Y,\varphi (p)),\\~[f]&\mapsto [\varphi \circ f],\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/46c0455940557eace7c9d8550d346f5955c8acb3)
它是良定义的，且可以证明它是群同态，我们称其为
φ
{\displaystyle \varphi}
是道路连通空间之间的连续映射，那么
(
ψ
∘
φ
)
∗
=
ψ
∗
∘
φ
∗
.
{\displaystyle (\psi \circ \varphi)_* = \psi_* \circ \varphi_*.}
假设
X
{\displaystyle X}
诱导的群同态
(
Id
X
)
∗
{\displaystyle (\text{Id}_X)_*}
是
π
1
(
X
,
p
)
{\displaystyle \pi_1(X, p)}
是群同构，即同胚的拓扑空间具有同构的基本群。
假设
A
{\displaystyle A}
是道路连通空间
X
{\displaystyle X}
满足
r
|
A
=
Id
A
{\displaystyle r|_A = \text{Id}_A}
，那么
(
ι
A
)
∗
{\displaystyle (\iota_A)_*}
是单同态，
r
∗
{\displaystyle r_*}
是满同态，其中
ι
A
:
A
→
X
,
a
↦
a
{\displaystyle \iota_A: A \to X, a \mapsto a}
是自然嵌入。
性质[]
同胚的拓扑空间具有同构的基本群。
乘积空间的基本群：假设
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
{\displaystyle X_1, X_2, \cdots, X_n}
是道路连通空间，那么映射
P
:
π
(
X
1
×
⋯
×
X
n
,
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
)
→
π
1
(
X
1
,
x
1
)
×
⋯
×
π
1
(
X
n
,
x
n
)
[
f
]
↦
(
p
1
∗
[
f
]
,
⋯
,
p
n
∗
[
f
]
)
{\displaystyle \begin{align}
P: \pi(X_1 \times \cdots \times X_n, (x_1, \cdots, x_n)) & \to \pi_1(X_1, x_1) \times \cdots \times \pi_1(X_n, x_n) \\
~[f] & \mapsto ({p_1}_*[f], \cdots, {p_n}_*[f])
\end{align}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}P:\pi (X_{1}\times \cdots \times X_{n},(x_{1},\cdots ,x_{n}))&\to \pi _{1}(X_{1},x_{1})\times \cdots \times \pi _{1}(X_{n},x_{n})\\~[f]&\mapsto ({p_{1}}_{*}[f],\cdots ,{p_{n}}_{*}[f])\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/fe49eb5a5c6beff8ccc8062bc4fe07883f99b2a3)
是群同构，其中
p
i
:
X
1
×
X
2
×
⋯
×
X
n
→
X
i
{\displaystyle p_i: X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \to X_i}
是自然投射。
（一个重要的引理）假设
ψ
,
φ
:
X
→
Y
{\displaystyle \psi, \varphi: X \to Y}
连续且
H
:
ψ
≃
φ
{\displaystyle H: \psi \simeq \varphi}
是同伦。对任意
p
∈
X
{\displaystyle p \in X}
是从
φ
(
p
)
{\displaystyle \varphi(p)}
到
ψ
(
p
)
{\displaystyle \psi(p)}
的道路，令
Φ
h
:
π
1
(
Y
,
φ
(
p
)
)
→
π
1
(
Y
,
ψ
(
p
)
)
{\displaystyle \varPhi_h: \pi_1(Y, \varphi(p)) \to \pi_1(Y, \psi(p))}
是群同构，那么成立
Φ
h
∘
φ
∗
=
ψ
∗
.
{\displaystyle \varPhi_h \circ \varphi_* = \psi_*.}
同伦等价的道路连通空间具有同构的基本群。这也是计算基本群的有力方法之一。
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是交换群，
F
,
G
:
X
→
Y
{\displaystyle F, G: X \to Y}
同胚，且对某个
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
成立
F
(
x
)
=
G
(
x
)
{\displaystyle F(x) = G(x)}
，那么
F
∗
=
G
∗
{\displaystyle F_* = G_*}
，如果
π
1
(
Y
,
q
)
{\displaystyle \pi_1(Y, q)}
【本文地址】