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【Matlab】复化梯形公式求积分、求二重积分
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目录
一、复化梯形公式求积分1.1 题目1.2 程序1.3 运行结果
二、复化梯形公式求二重积分2.1 题目2.2 程序2.2.1 二重积分通用程序2.2.2 主函数程序
2.3 运行结果
一、复化梯形公式求积分
1.1 题目
利用复化梯形公式计算 I ( f ) = ∫ 1 5 s i n x x d x I(f) = \int_1^5{\frac{sinx}{x}dx} I(f)=∫15xsinxdx 的近似值，精确至7位有效数字。 1.2 程序 clc; clear all syms x %% 已知条件 Fx(x) = sin(x)/x; a = 1; b = 5; epsilon = 5e-8; e = 1; T = []; % 存放Tf的值 h = b-a; Xk1 = [a, b]; % 存放已选的 xk Xk2 = []; % 存放将要使用的 x(k+1/2) sumfx = 0; % sum( fx(k+1/2) ) %% 计算 digits(8) format long k = 0; Tf = vpa( b - a ) / 2 * ( Fx(a) + Fx(b) ); T = [T, Tf]; fprintf('k=%d, 2^k=%d, Tk=%0.8f\n',k,2^k,Tf) while(e>epsilon) for i=1:length(Xk1)-1 temp = ( Xk1(i) + Xk1(i+1) ) / 2; sumfx = sumfx + Fx(temp); Xk2 = [Xk2,temp]; end Xk1 = [Xk1,Xk2]; Xk1 = sort(Xk1); k = k + 1; Tf = vpa( 0.5 * ( Tf + h * sumfx ) ); T = [T, Tf]; e = abs(Tf - T(end-1))/3; fprintf('k=%d, 2^k=%d, Tk=%0.8f, e=%0.8f\n',k,2^k,Tf,e) % 更新值 h = h / 2; sumfx = 0; Xk2 = []; end If = Tf; fprintf('复化梯形求积公式的结果为：%0.8f\n',If) 1.3 运行结果
（1）给定积分 I ( f ) = ∫ c d ( ∫ a b f ( x , y ) d x ) d y I(f)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y I(f)=∫cd(∫abf(x,y)dx)dy，取初始步长 h h h和 k k k及精度 ε \varepsilon ε，应用复化梯形公式，采用逐次二分步长的方法并应用外推思想编制计算 I ( f ) I(f) I(f)的通用程序，计算至相邻两次近视值之差的绝对值不超过 ε \varepsilon ε为止； （2）用所编程序计算积分 I ( f ) = ∫ 0 π / 6 ( ∫ 0 π / 3 tan ( x 2 + y 2 ) d x ) d y I(f)=\int_{0}^{\pi / 6}\left(\int_{0}^{\pi / 3} \tan \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y I(f)=∫0π/6(∫0π/3tan(x2+y2)dx)dy 取 ε = 1 2 × 1 0 − 5 \varepsilon=\frac{1}{2} \times 10^{-5} ε=21×10−5。 2.2 程序 2.2.1 二重积分通用程序 function[result] = trapezoid(a,b,c,d,F,epsilon) %% 初值条件 T0 = []; % 存放Tm,n(f) T1 = []; % 存放T(1)m,n(f) T2 = []; % 存放T(2)m,n(f) T3 = []; % 存放T(3)m,n(f) m = 1; % 将[a,b] m等分 n = 1; % 将[c,d] n等分; 注：虽然这里m与n相等，但分开计算。 h = (b - a) / m; % x的步长 k = (d - c) / n; % y的步长 xx = [a,b]; yy = [c,d]; e = 1; % 误差 %% 计数位 count = 0; T0_count = 0; T1_count = 0; T2_count = 0; T3_count = 0; %% 计算 digits(10) T = h * k / 4 * ( F(xx(1),yy(1)) + F(xx(1),yy(2)) + F(xx(2),yy(1)) + F(xx(2),yy(2)) ) ; T0 = [T0, T]; T0_count = T0_count + 1; count = 1; fprintf('k=%d, 2^k=%d, T0=%0.8f\n',count,2^count,T) while(e>epsilon) m = 2 * m; n = 2 * n; h = (b - a) / m; k = (d - c) / n; % 计算x、y的取值 xx = [a]; % 暂时只存入左边值 yy = [c]; % 暂时只存入左边值 for i = 1:m temp = a + i * h; xx = [xx,temp]; end for j = 1:n temp = c + j * k; yy = [yy,temp]; end % 计算T0 T = 0; for i = 1:m for j = 1:n T = T + vpa( h * k /4 * (F(xx(i),yy(j)) + F(xx(i),yy(j+1)) + F(xx(i+1),yy(j)) + F(xx(i+1),yy(j+1)) ) ); end end T0 = [T0,T]; T0_count = T0_count + 1; count = count + 1; fprintf('k=%d, 2^k=%d, T0=%0.8f',count,2^count,T) % 计算T1 if T0_count - T1_count == 2 && T0_count >= 2 temp = 4 / 3 * T0(end) - 1 / 3 * T0(end-1); T1 = [T1,temp]; T1_count = T1_count + 1; fprintf(', T1=%0.8f',T1(end)) end % 计算T2 if T1_count - T2_count == 2 && T1_count >= 2 temp = 4 / 3 * T1(end) - 1 / 3 * T1(end-1); T2 = [T2,temp]; T2_count = T2_count + 1; fprintf(', T2=%0.8f',T2(end)) end % 计算T3 if T2_count - T3_count == 2 && T2_count >= 2 temp = 4 / 3 * T2(end) - 1 / 3 * T2(end-1); T3 = [T3,temp]; T3_count = T3_count + 1; fprintf(', T3=%0.8f',T3(end)) end if T3_count >= 2 e = T3(end) - T3(end-1); fprintf(', e=%0.8f',e) end fprintf('\n') end fprintf('复化梯形二重积分求积公式的结果为：%0.8f\n',T3(end)) result = T3(end); end 2.2.2 主函数程序 clc; clear; syms x y F(x,y) = tan(x^2 + y^2); a = 0; b = pi/3; c = 0; d = pi/6; epsilon = 0.5e-5; result = trapezoid(a,b,c,d,F,epsilon); 2.3 运行结果
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