多元函数微分法定理汇总

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极限存在条件

极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x,y)={0 (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠0}

连续性

定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

连续与可导

如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

可微的必要条件

一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

可微的充分条件

定理(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数存在且在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。

极值存在的必要、充分条件

定理(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

1、AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值;

2、AC-B2 /阅读下一篇/ 返回网易首页 下载网易新闻客户端