多元函数 可导、可微、连续、一阶偏导数连续 之间关系的总结

以二元函数为代表解释他们之间的关系。

1>可导不一定连续，连续不一定可导。

对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。

2>可微必连续，可微必可导。反之不成立。

可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。

引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。（图1）

但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。（图2）所以在（0，0）点不可微。 

3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

以下用可微的定义进行证明

至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。

震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可，没必要深究。