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公元前四世纪，古希腊数学家梅内克缪斯在圆锥上发现了圆锥曲线，其中一种重要的圆锥曲线就是抛物线：

一百年后，数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中探索了许多圆锥曲线的几何性质，但当时的人们并不知道这种曲线的实际意义，只是当作一种优美的几何图形。

直到千年后的伽利略发现，把一个物体扔出去，物体的飞行轨迹就是一条抛物线，抛物线的名字也是来源于此。

最后，笛卡尔通过坐标系，说明了抛物线的数学表达式，就是二次函数。

我们已经学过一次函数，包括一次项和常数项，其中一次项不能为0，即：

f(x)=kx+b,\quad k\neq 0

我们可以类似地来定义二次函数，包括二次项、一次项、常数项，其中二次项不能为0，即：

f(x)=ax^2+bx+c, \quad a\neq 0

这被叫做二次函数的一般式。

练习：判断下列函数是否是二次函数，并写成一般式。

f(x)=-3x^2\\ g(y)=2y^2+3y-3y^2+y^2+5 \\ h(x)=(a+1)x^2-x+5, a\in \mathbb{R}\\ y(x)= 3(1-2x)^2-3x+4

接下来我们先从最简单的二次函数开始，即：

y(x)=ax^2,\quad a\neq 0

对于不同的a作图，得到：

蓝色是a=1的情况，绿色是a=0.5，红色是a=2。

可以发现，如果二次函数没有一次项和常数项，只有二次项，那么图像会是一个开口向上的抛物线，而且顶点就在原点。

而且抛物线是左右对称的，对称轴就是x=0。

以对称轴为分界，如果a是正数，那么二次函数先减小后增大，反之a是负数，二次函数就先增大后减小。而顶点的位置就是二次函数的最值。

a的大小则决定了抛物线的平滑程度，a越大抛物线越陡峭，a接近0的时候，二次函数也就会退化成一次函数，图像接近直线。

如果要让抛物线的开口向下，我们只需要让a变成负数就行，橙色就是a=-1的情况，是蓝色的对称图形。

探索：抛物线可以是横向开口的吗？斜的呢？

探索：抛物线具有哪些几何性质？

练习：画出 y_1 (x)=-\displaystyle \frac{1}{2}x^2 ,y_2(x)=3x^2 的图像。

通过对顶点在原点的抛物线的平移，我们可以得到任意的抛物线。

首先是上下平移，和一次函数类似，我们只需要改变常数项，把整个式子加上一个数就可以，本质上是对于因变量进行加减。

例如 y(x)=x^2+1 的图像如下：

如果是 y(x)=x^2-1 ，那就是向下平移：

而要想在表达式上完成左右平移，我们只需要对自变量x进行加减，例如 y=(x-1)^2 图像如下：

所以我们就得到了二次函数的另一种表达式， y(x)=a(x-m)^2+l ，通过a来控制二次函数的形状，通过m和l来控制二次函数的位置。

这时候二次函数的顶点的位置就是 (m,l) ，因此这被称为二次函数的顶点式。

将顶点式展开计算，合并同类项后，我们就能得到二次函数的一般式。

探索：各种图形在坐标系中都是怎么完成平移的？

探索：二次函数还可以有哪些表达式？

练习：写出​ y(x)=-3x^2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位的顶点式和一般式。

二次函数的性质相比于一次函数而言复杂许多，而且也是高中圆锥曲线部分的重点内容，因此初中阶段熟练掌握二次函数的各种性质是非常必要的。

本节只是二次函数学习的开头，二次函数是初中分析内容的顶点，后续还涉及一元二次方程，三元一次方程，因式分解等代数知识。

同时其图像也能和几何内容相关联，是综合性极强的知识，常常作为压轴题出现，我们还将花大量的精力来深入学习。

探索：二次函数有哪些应用？

探索：二次函数和一次函数有什么联系？（因式分解，差分，微分）

预习：顶点式展开之后就是一般式，那么一般式能变成顶点式吗？