22.1 二次函数的图象和性质教案板书设计

地区： 青海省 - 西宁市 -

学校：西宁市第七中学东校

22.1　二次函数的图象和性… 初中数学       人教2011课标版

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质的教学设计（1课时）

   (一)知识与能力?

    1、会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。?

    2、结合二次函数y=ax2的图象，得出并理解y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标及y随x的变化情况。?

   (二)过程与方法?

    1、学生尝试去发现二次函数y=ax2的图象的特征。?

    2、在画图象过程中充分引导学生有目的的去观察函数图象，理解及体会其性质。

    3、让学生经历操作、观察、归纳、概括等数学活动，渗透数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能 力。

    (三)情感、态度与价值观

   1、培养学生探索、观察、发现的良好数学品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。

   2、通过细心画图及观察图象，培养学生严谨细致的学习态度。

（一）教学重点 

       理解二次函数y=ax2的图象及其性质，初步掌握数形结合的数学思想方法。?

（二）教学难点?

    1、观察二次函数的图象特征，得出二次函数的性质。

    2、渗透数形结合的数学思想方法。

     （一）教法: 

       在教学上主要采用了操作、观察、合作交流、归纳等方法，并结合学案及多媒体演示，激励学生积极参与；在学习新知识的过程中渗透数形结合的数学思想。

      （二）学法

      这一阶段的学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强。因此，在学习中，通过设计学案，使学生动手操作，自己观察，进行小组讨论和交流，同时通过“问题串”的形式，使学生形成对数学知识的理解和达成有效的学习策略。并且在学习的过程中，师生共同归纳总结，体验学习。

       1、提问：上节课我们学习了二次函数的概念，那么二次函数的解析式是怎样的？自变量X的取值范围又如何呢？

（y=ax2+bx+c（a≠0）；全体实数）

        2、我们知道图象是研究函数的重要工具，那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是怎样的呢？我们先从最简单的二次函数y=ax2的图象入手吧？不妨让我们从一个具体的二次函数y=x2的图象开始研究吧！

(设计意图：复习二次函数的概念；学习研究函数问题的基本方法，体会从特殊到一般的数学思想。）

 1、初探------猜想、验证

 问题1：以前学一次函数时，是用什么方法画出y=x的图象的？

（回答要点：用描点法，取两点连线。）

（设计意图：复习一次函数的有关知识，为二次函数的研究埋下伏笔，体会类比的数学思想。）

问题2：那二次函数y=x2的图象也可以如此画吗？

   （学生思考并讨论，得出要取超过2个点，并且要考虑x＜0、x=0、x＞0的情况）

（设计意图：培养学生良好的数学思维品质；体会分类讨论的数学思想。）

2、再探----列表、交流

师：请拿出学案，完成活动一：

活动一：列表取适当的x值，求出对应的y值填入表内：

思考1：根据解析式，说说这样取x的理由或取x值时的注意点。

（学生在小组内交流，然后汇报交流）

（设计意图：培养学生良好的数学思维品质；养成良好的小组合作交流学习习惯。）

3、三探-----操作、展示

师：请同学们按照刚才所讨论的取值要求，结合你所列的表格完成学案中的活动二。

    活动二：描点连线。以表中各组对应值为点的坐标，在图中描出相应的点，连线画出图象。

思考2：观察并分析二次函数y=x2的图象在第几象限？具有怎样的对称性？

（图象在第一象限和第二象限，关于y轴对称。）

（设计意图：养成良好的动手、操作的数学学习习惯；培养观察、归纳的数学学习能力。）

      归纳：从图象可以看出,二次函数y=x2的图象都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.这样的曲线叫做抛物线.

       实际上,二次函数的图象都是抛物线.

       一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.

      还可以看出,二次函数y=x2图象是轴对称图形,y轴是它们的对称轴

      抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

      抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点

     从二次函数y=x2的图象可以看出：

     在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升。也就是说，当x＜0，y随x的增大而减小；当x＞0，y随x的增大而增大。

例1.在同一直角坐标系中画出函数y=12 x2  和y=2x2的图象。

问题1：画图的步骤是什么？

（列表，描点，连线。）

问题2：列表的关键是什么？

（选取适当的点）

问题3：如何选取“适当的点”？

（根据“对称性”，在原点（0，0）的左右两侧各选取3个点；便于计算，容易描的点。）

解：分别填表，再画出它们的图象，如下图

问题：请同学们仔细观察：函数y=12 x2        ,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?

总结：

一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小。

（设计意图：规范学生按照画图步骤，正确画出函数图象，并会通过观察图象，初步归纳出二次函数的性质。）

师：请同学们拿出学案，完成活动三

活动三：

探究一：在同一直角坐标系中画出函数y=－0.5x2和y=－2x2的图像。

探究二：这两个二次函数的图象有什么共同点和不同点？

（ 共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点。

   不同点：开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小。）

总结：

一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小。

归纳总结：

二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线，它的图象的性质有：

（1）开口方向：a＞0,开口向上； a＜0,开口向下。

（2）对称轴：y轴

（3）顶点：原点（0，0）

（4） a＞0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

a＜0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

（5）最值: a＞0时，y有最小值0； a＜0时， y有最大值0。

（6）开口大小：∣a∣越大，抛物线的开口越小。

（设计意图：对学生在画二次函数的图象时，出现的问题及时反馈，纠正可能出现的错误；培养学生观察、归纳的能力。）

（1）教科书P32练习（口答）

（2）已知抛物线y=－3x2的图象，在对称轴的左侧， y随x的增大而           ；在对称轴的右侧，y随x的增大而        。

（设计意图：巩固本节课的知识点。）

（1）本节课主要学习了哪些知识？

（2）在学习中应用了哪些重要的思想方法？

（3）你对本节课还有哪些收获？

（设计意图：对本节课的学习进行有效的反思，养成良好的数学学习习惯。）

1、教科书P41，习题22.1 第3、第4题；

2、补充题

（1）抛物线y=3x2的图象的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(2)抛物线y=−23 x2  的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(3)二次函数y=35 x2  的图象是一条           ，当x0时， y随x的增大而          。

(4)已知抛物线y=ax2开口向上，且x的绝对值是=2，则a=          。

(5)抛物线y=2x2 和y=-3x2 中开口较大的是__________．

(6）(选作）已知：抛物线y=mxm2+m−10  ,当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。

五、板书设计：

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

一、二次函数y=ax2(a≠0)的性质二、研究y=ax2(a≠0)的性质的方法  

   （一）1、画出图象；2、观察图象；3、归纳总结。

   （二）1、类比；2、特殊到一般。

三、数学思想：数形结合的数学思想

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要有利于学生的成长与发展。因此这节课的设计理念是，充分体现新课标的精神，真正让学生通过自主探究的过程，达到学习和掌握新知识的目的。

在这节课的教学中:

(1)为充分体现新课标的精神，我设计了学案，通过利用学案教学，放手让学生在自主探究活动中，去画图、观察、讨论、归纳而发现新知是成功的。借助学案，学生对新知识进行了充分的过程探究，使学生很容易通过观察图象，而得到二次函数的性质。

（2）精心设计了“问题串”，以“问题串”的形式，引导学生去探究，体现了老师在课堂教学中的引领作用。

（3）精心设计了课件，通过课件展示函数图象的画法，降低了课堂教学难度，提高了课堂教学效率。

（4）精心设计课堂练习和课外作业。除做教科书的练习和习题外，还设计了补充练习和课外习题。设计的补充练习及课外作业的题目的难度，由浅入深，并进行了分层。切实做到了帮助学生掌握课堂所学知识的目的。

（5）课堂教学紧紧围绕“数形结合的数学思想”、“特殊到一般的数学思想”及“类比的数学思想”。使学生初步掌握了“数形结合的重要数学思想”。

（6）板书设计：设计了“知识、方法、数学思想”三个部分。突破了传统的板书设计模式，增加了“方法、数学思想”两个部分，培养了学生自主学习的能力。

（7）课堂教学的设计初衷是好的，虽然考虑很细致，但实际教学中，总有“遗憾”。在本节课中，探究活动没能调动每一名学生都积极参与，尤其教师没有调动“学习困难生”的学习积极性；画“函数图象”所费时间较多，导致讨论、归纳时间较短；数学思想的渗透也不够理想。

总之，数学课堂教学的过程是：师生共同活动、共同成长与共同发展的过程，只有努力寻觅适合学生自己的认知过程和特点，才是最有效的教学。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学案

    学习目标：

1.学会用描点法画出y=ax2的图象，明确抛物线y=ax2的图象是抛物线。

2.经历操作、分析、观察、探究及应用的过程，渗透数形结合的数学思想，理解二次函数y=ax2图象的性质。

学习重点：理解抛物线y=ax2的图象及性质。

学习难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数y=ax2的性质。

学习过程：

活动一：列表取适当的x值，求出对应的y值填入表内:

思考1：根据解析式，说说这样取x的理由或取x值时的注意点。

（学生在小组内交流，然后汇报交流）

活动二：描点连线。以表中各组对应值为点的坐标，在图中描出相应的点，连线画出图象。

思考2：观察并分析二次函数y=x2的图象在第几象限？具有怎样的对称性？

填空：二次函数y=x2的图象在对称轴（y轴）的左侧，抛物线从左到右          ；在对称轴y轴的右侧，抛物线从左到          。也就是说，二次函数y=x2的图象，当x＜0，y随x的增大而          ；当x＞0，y随x的增大而          。

活动三：

探究一：在同一直角坐标系中画出函数y=－0.5x2和y=－2x2的图像。

探究二：这两个二次函数的图象有什么共同点和不同点？

   共同点：

   不同点：

填空：

一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口          ，对称轴是          ，顶点是          ，顶点是抛物线的最          点，a越小，抛物线的开口       。

归纳总结：

二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线，它的图象的性质有：

（1）开口方向：a＞0,开口          ； a＜0,开口          。

（2）对称轴：       

（3）顶点：       

（4） a＞0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而          ；在对称轴的          右侧，y随x的增大而          。

a＜0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而          ；在对称轴的右侧，y随x的增大而          。

（5）最值: a＞0时，y有最          值0； a＜0时， y有最         值0。

（6）开口大小：∣a∣越大，抛物线的开口越          。

巩固练习：

    （1）教科书P32练习（口答）

    （2）已知抛物线y=－3x2的图象，在对称轴的左侧， y随x的增大而           ；在对称轴的右侧，y随x的增大而        。

课外作业：

1、教科书P41，习题22.1   第3、第4题；

2、补充题

（1）抛物线y=3x2的图象的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(2)抛物线y=−23 x2  的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(3)二次函数y=35 x2  的图象是一条           ，当x0时， y随x的增大而          。

(4)已知抛物线y=ax2开口向上，且a的绝对值等于2，则a=          。

(5)抛物线y=2x2  和y=−3x2  中开口较大的是__________．

   （6）(选作）已知：抛物线y=mxm2+m−10  ,当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。

22.1　二次函数的图象和性质

22.1　二次函数的图象和性质

       1、提问：上节课我们学习了二次函数的概念，那么二次函数的解析式是怎样的？自变量X的取值范围又如何呢？

（y=ax2+bx+c（a≠0）；全体实数）

        2、我们知道图象是研究函数的重要工具，那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是怎样的呢？我们先从最简单的二次函数y=ax2的图象入手吧？不妨让我们从一个具体的二次函数y=x2的图象开始研究吧！

(设计意图：复习二次函数的概念；学习研究函数问题的基本方法，体会从特殊到一般的数学思想。）

 1、初探------猜想、验证

 问题1：以前学一次函数时，是用什么方法画出y=x的图象的？

（回答要点：用描点法，取两点连线。）

（设计意图：复习一次函数的有关知识，为二次函数的研究埋下伏笔，体会类比的数学思想。）

问题2：那二次函数y=x2的图象也可以如此画吗？

   （学生思考并讨论，得出要取超过2个点，并且要考虑x＜0、x=0、x＞0的情况）

（设计意图：培养学生良好的数学思维品质；体会分类讨论的数学思想。）

2、再探----列表、交流

师：请拿出学案，完成活动一：

活动一：列表取适当的x值，求出对应的y值填入表内：

思考1：根据解析式，说说这样取x的理由或取x值时的注意点。

（学生在小组内交流，然后汇报交流）

（设计意图：培养学生良好的数学思维品质；养成良好的小组合作交流学习习惯。）

3、三探-----操作、展示

师：请同学们按照刚才所讨论的取值要求，结合你所列的表格完成学案中的活动二。

    活动二：描点连线。以表中各组对应值为点的坐标，在图中描出相应的点，连线画出图象。

思考2：观察并分析二次函数y=x2的图象在第几象限？具有怎样的对称性？

（图象在第一象限和第二象限，关于y轴对称。）

（设计意图：养成良好的动手、操作的数学学习习惯；培养观察、归纳的数学学习能力。）

      归纳：从图象可以看出,二次函数y=x2的图象都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.这样的曲线叫做抛物线.

       实际上,二次函数的图象都是抛物线.

       一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.

      还可以看出,二次函数y=x2图象是轴对称图形,y轴是它们的对称轴

      抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

      抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点

     从二次函数y=x2的图象可以看出：

     在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升。也就是说，当x＜0，y随x的增大而减小；当x＞0，y随x的增大而增大。

例1.在同一直角坐标系中画出函数y=12 x2  和y=2x2的图象。

问题1：画图的步骤是什么？

（列表，描点，连线。）

问题2：列表的关键是什么？

（选取适当的点）

问题3：如何选取“适当的点”？

（根据“对称性”，在原点（0，0）的左右两侧各选取3个点；便于计算，容易描的点。）

解：分别填表，再画出它们的图象，如下图

问题：请同学们仔细观察：函数y=12 x2        ,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?

总结：

一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小。

（设计意图：规范学生按照画图步骤，正确画出函数图象，并会通过观察图象，初步归纳出二次函数的性质。）

师：请同学们拿出学案，完成活动三

活动三：

探究一：在同一直角坐标系中画出函数y=－0.5x2和y=－2x2的图像。

探究二：这两个二次函数的图象有什么共同点和不同点？

（ 共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点。

   不同点：开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小。）

总结：

一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小。

归纳总结：

二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线，它的图象的性质有：

（1）开口方向：a＞0,开口向上； a＜0,开口向下。

（2）对称轴：y轴

（3）顶点：原点（0，0）

（4） a＞0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

a＜0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

（5）最值: a＞0时，y有最小值0； a＜0时， y有最大值0。

（6）开口大小：∣a∣越大，抛物线的开口越小。

（设计意图：对学生在画二次函数的图象时，出现的问题及时反馈，纠正可能出现的错误；培养学生观察、归纳的能力。）

（1）教科书P32练习（口答）

（2）已知抛物线y=－3x2的图象，在对称轴的左侧， y随x的增大而           ；在对称轴的右侧，y随x的增大而        。

（设计意图：巩固本节课的知识点。）

（1）本节课主要学习了哪些知识？

（2）在学习中应用了哪些重要的思想方法？

（3）你对本节课还有哪些收获？

（设计意图：对本节课的学习进行有效的反思，养成良好的数学学习习惯。）

1、教科书P41，习题22.1 第3、第4题；

2、补充题

（1）抛物线y=3x2的图象的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(2)抛物线y=−23 x2  的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(3)二次函数y=35 x2  的图象是一条           ，当x0时， y随x的增大而          。

(4)已知抛物线y=ax2开口向上，且x的绝对值是=2，则a=          。

(5)抛物线y=2x2 和y=-3x2 中开口较大的是__________．

(6）(选作）已知：抛物线y=mxm2+m−10  ,当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。

五、板书设计：

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

一、二次函数y=ax2(a≠0)的性质二、研究y=ax2(a≠0)的性质的方法  

   （一）1、画出图象；2、观察图象；3、归纳总结。

   （二）1、类比；2、特殊到一般。

三、数学思想：数形结合的数学思想

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要有利于学生的成长与发展。因此这节课的设计理念是，充分体现新课标的精神，真正让学生通过自主探究的过程，达到学习和掌握新知识的目的。

在这节课的教学中:

(1)为充分体现新课标的精神，我设计了学案，通过利用学案教学，放手让学生在自主探究活动中，去画图、观察、讨论、归纳而发现新知是成功的。借助学案，学生对新知识进行了充分的过程探究，使学生很容易通过观察图象，而得到二次函数的性质。

（2）精心设计了“问题串”，以“问题串”的形式，引导学生去探究，体现了老师在课堂教学中的引领作用。

（3）精心设计了课件，通过课件展示函数图象的画法，降低了课堂教学难度，提高了课堂教学效率。

（4）精心设计课堂练习和课外作业。除做教科书的练习和习题外，还设计了补充练习和课外习题。设计的补充练习及课外作业的题目的难度，由浅入深，并进行了分层。切实做到了帮助学生掌握课堂所学知识的目的。

（5）课堂教学紧紧围绕“数形结合的数学思想”、“特殊到一般的数学思想”及“类比的数学思想”。使学生初步掌握了“数形结合的重要数学思想”。

（6）板书设计：设计了“知识、方法、数学思想”三个部分。突破了传统的板书设计模式，增加了“方法、数学思想”两个部分，培养了学生自主学习的能力。

（7）课堂教学的设计初衷是好的，虽然考虑很细致，但实际教学中，总有“遗憾”。在本节课中，探究活动没能调动每一名学生都积极参与，尤其教师没有调动“学习困难生”的学习积极性；画“函数图象”所费时间较多，导致讨论、归纳时间较短；数学思想的渗透也不够理想。

总之，数学课堂教学的过程是：师生共同活动、共同成长与共同发展的过程，只有努力寻觅适合学生自己的认知过程和特点，才是最有效的教学。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学案

    学习目标：

1.学会用描点法画出y=ax2的图象，明确抛物线y=ax2的图象是抛物线。

2.经历操作、分析、观察、探究及应用的过程，渗透数形结合的数学思想，理解二次函数y=ax2图象的性质。

学习重点：理解抛物线y=ax2的图象及性质。

学习难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数y=ax2的性质。

学习过程：

活动一：列表取适当的x值，求出对应的y值填入表内:

思考1：根据解析式，说说这样取x的理由或取x值时的注意点。

（学生在小组内交流，然后汇报交流）

活动二：描点连线。以表中各组对应值为点的坐标，在图中描出相应的点，连线画出图象。

思考2：观察并分析二次函数y=x2的图象在第几象限？具有怎样的对称性？

填空：二次函数y=x2的图象在对称轴（y轴）的左侧，抛物线从左到右          ；在对称轴y轴的右侧，抛物线从左到          。也就是说，二次函数y=x2的图象，当x＜0，y随x的增大而          ；当x＞0，y随x的增大而          。

活动三：

探究一：在同一直角坐标系中画出函数y=－0.5x2和y=－2x2的图像。

探究二：这两个二次函数的图象有什么共同点和不同点？

   共同点：

   不同点：

填空：

一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口          ，对称轴是          ，顶点是          ，顶点是抛物线的最          点，a越小，抛物线的开口       。

归纳总结：

二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线，它的图象的性质有：

（1）开口方向：a＞0,开口          ； a＜0,开口          。

（2）对称轴：       

（3）顶点：       

（4） a＞0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而          ；在对称轴的          右侧，y随x的增大而          。

a＜0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而          ；在对称轴的右侧，y随x的增大而          。

（5）最值: a＞0时，y有最          值0； a＜0时， y有最         值0。

（6）开口大小：∣a∣越大，抛物线的开口越          。

巩固练习：

    （1）教科书P32练习（口答）

    （2）已知抛物线y=－3x2的图象，在对称轴的左侧， y随x的增大而           ；在对称轴的右侧，y随x的增大而        。

课外作业：

1、教科书P41，习题22.1   第3、第4题；

2、补充题

（1）抛物线y=3x2的图象的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(2)抛物线y=−23 x2  的图象的开口向     ；对称轴是           ；顶点是           。

(3)二次函数y=35 x2  的图象是一条           ，当x0时， y随x的增大而          。

(4)已知抛物线y=ax2开口向上，且a的绝对值等于2，则a=          。

(5)抛物线y=2x2  和y=−3x2  中开口较大的是__________．

   （6）(选作）已知：抛物线y=mxm2+m−10  ,当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。