一个令人惊叹的数学恒等式，一个天才的发现，一个意想不到的结果

这篇文章，我们将全力解读由天才数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）所提出的一个令人惊叹的数学恒等式。先看下面这个：

这是一个非常奇特的无限分数。然后还有这个无限和：

现在让我们将这两个“无限级数”相加：

这里有个π和e的因子，这是一个疯狂的结果。这两个无限级数，是如何将π和e联系在一起的？拉马努金在这种事情上是个天才，这个恒等式只是他发现的数千个恒等式中的一个，也是最美的一个恒等式。

1914年，拉马努金离开印度去英国的那一年，他挑战数学界，证明了他的恒等式是正确的。

这是印度数学学会杂志中的第541个问题。今天的任务就是，试图解开这两个无限级数是如何在数学天才的头脑中拼凑起来的。在这个过程中，我们会遇到一些数学中的伟大发现，比如Wallis公式：

高斯积分，

以及一个近乎疯狂的等式，

提醒一下，要想理解接下来的一切，你需要了解一些初级微积分的知识。

好的，开始吧。一个是无限和，一个是无限分数。让我们从无限和开始。你们可能会熟悉一个密切相关的无限和：

分母的乘积现在是连续的整数，而不仅仅是奇数。首先，让我们把这个和转换成一个关于变量x的幂级数，

计算这个幂级数的导数：

现在，首项是1。把这两个幂级数对齐：

上面是一个关于x的函数，我们称之为y（x），下面是它的导数y'（x），

不难发现：

这就是一个微分方程。要解它，我们需要找到一个函数，这个函数加1后，得到的是该函数的导数。有没有任何简单的函数可以满足这个微分方程？我相信你们已经猜到了。如果没有这个+1，那么要找的函数就是导数为自身的函数，这个函数就是指数函数：

指数函数并不是唯一一个等于其导数的函数。2乘以e的x次方也等于它的导数，3乘以e的x次方也是。实际上，具有这种特殊性质的函数正是形如常数乘以e的x次方的无穷多个函数。

现在，我们将1重新加入到微分方程中，

这可能会增加解微分方程的难度，但在这里它很简单。我们可以用c乘以e的x次方减去1来补偿这个+1，

这就是这个微分方程的所有解。但是，其中哪一个函数等于下面这个幂级数呢：

这很容易，只需插入x=0。那么右边就消失了，

所以我们看到y在0处等于0。把x=0带入通解中，

所以c等于1，那么

最后，插入x=1，就完成了，

现在让我们试着以完全相同的方式理解拉马努金的无限和，

将这个和扩展成一个幂级数，只用x的奇数次幂，

计算导数，

提出一个x，

像之前一样，我们将原幂级数命名为y(x)，它的导数是y'。所以，

那么，这个微分方程的解是什么？和上一个微分方程一样，有无数的解，而y在x=0的值确定了哪个解等于无穷级数。那么0处的值是什么？是0，

最后的解是，

这看起来很吓人，但不用担心，求解过程不是重点，我们的任务是找出拉马努金的和。

我们只需要将x=1代入即可，

所以，右边的拉马努金和等于左边那个奇怪的积分表达式。我们可以计算出那个积分，值约为1.41。好像是2的平方根对吧？但实际上并不是。e的1/2次幂，就是根号e，

根号e就是拉马努金恒等式的一个成分。我们似乎在接近答案。但是这个积分呢？

这对许多人来说应该很熟悉，一个正态分布，钟形曲线。那么整个积分就是钟形曲线在0和1之间的面积，

我在前面提到过的超级著名的高斯积分。钟形曲线的总面积，从-∞到∞，正好等于2π的平方根，

从0到∞的积分应该等于一半，

即有，

那么，

别忘记，

接下来，把0到无穷的积分分为两个部分，

我们已经证明了，

所以，剩下的就是要证明，

这一点也不明显。让我们开启天才模式。 用x来处理问题对无穷和非常有效。所以，让我们将所有内容以自然的方式扩展到一个x恒等式，然后尝试构造那个无穷小数。拆分左侧的根式，

积分符号上的1是从x得到的，

根号e变为，

这是一个相当自然的做法。并且，最重要的是，这个新的恒等式对所有的x都是成立的，不仅仅是x=1。因为无论我们选择什么x，两个黄色的积分加起来总是等于左侧的π除以2的平方根，

剩下要做的，就是要证明，当x等于1时，有

令

为了解出y，我们得到这个差值，

要找出微分方程，我们需要y的导数，所以让我们在两边都取导数，

不难发现，y包含在了它的导数中，做个简单替换得到，

通常，这个微分方程有无穷多个解。现在，我们要怎么做，才能在这无穷多个解中找出我们需要的那个解？和前面一样吗，我们计算y在0的值，代入x = 0得到，

现在，让我来展示如何从这个新的微分方程得到无穷分数，

我们从新的微分方程开始，首先在两边求导，

然后一直重复

注意到右边的1，2，3了吗？接下来将有一些真正的数学魔法。将第一个方程除以y。对所有其他的方程也做同样的处理。

你能看出来了吗？

多么神奇呀！我们已经完成了证明。

实际上，我们的证明远远超过了拉马努金的发现。这是一个恒等式，适用于所有的x。将x替换为1，就得到了拉马努金的等式。但是，拉马努金本人也非常清楚这个恒等式的某个版本。但数学研究者应该知道，无穷大具有欺骗性，对于我们到目前为止所做的事情，要真正算作一个证明，还有一些事情需要检查。否则，很容易得到类似于自然数之和等于-1/12这种疯狂的结果。

不可能的等式

为了看到问题，我们必须回看一下我们是如何得到这个无穷分数的，

开始时，注意到y满足下面这个微分方程，

而且y在0处等于根号π除以2，

现在，我们找到了微分方程的一个解，以无穷分数的形式。然而，我们求解微分方程的过程，没有使用y在0处等于根号π除以2的事实。这提醒我们还有更多的事情需要完成，因为我们如何能确保我们找到的解就是在0处取值为根号π除以2的解呢？问题已经找出，但也很容易解决，我们只需要将x=0代入分数，然后希望能将结果表达式转化为根号π除以2，

我们如何看出这个非常奇特的无穷分数的值是根号π除以2呢？让我们将这个无限分数变得有限，比如在7之后截断，

一直运算下去，最终得到，

所有的偶数在上面，所有的奇数在下面。这让我们想起我在文章开头提到的另一个无穷积，

这非常重要，是著名的Wallis积。在Wallis积中，所有的整数出现两次，2乘以2，3乘以3，等等。但是，在我们新的无穷积中，每个整数只出现一次，所以，

这正是我们希望找到的结果。但还有一些更疯狂的事情。事实证明，新的无穷乘积并不等于根号π除以2。是的，如果你真的试图通过2除以1乘以4除以3乘以6除以5等等去求这个无穷表达式的值，你会发现这个无穷表达式发散，即趋向于无穷大。但是，为什么Wallis积不会发散？正如你们所见，这非常类似于拉马努金著名的自然数之和等于-1/12，这个等式实际上并不像一般等式那样有意义，但是与此同时，它在某些情况下确实像等式那样揭示了1+2+3+……=-1/12之间的深层联系。

对于我们这里的无穷积也是同样的情况，

这些“不可能的等式”在我们的场景中真正起了作用，即无穷函数分数在适当处理的情况下真的是那个微分方程的正确解，而拉马努金的通用x等式真的是正确的。这太深奥、太疯狂了，我们在这里无法深入讲解，但这一切都合情合理。